Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Modelos y Simulación - Licenciatura en Computación


Guía N$^{\circ}$3: Generación de Variables Aleatorias Discretas

Problema 1: Se baraja un conjunto de $n = 100$ cartas (numeradas consecutivamente del 1 al 100) y se extrae del mazo una carta por vez. Consideramos que ocurre un ``éxito'' si la i-ésima carta extraída es aquella cuyo número es $i$ ( $i = 1, \dots, n$).
a) Escribir un programa de simulación para estimar la esperanza y la varianza del número total de éxitos.
b) Determine las respuestas exactas para $n >> 1$ y compárelas con los resultados estimados.

Problema 2: Se desea construir una aproximación de:

$$\sum_{i=1}^N \,\exp \left( \displaystyle\frac{i}{n} \right) \mbox{ donde }N=10000 \;.$$

a) Determine un algoritmo para estimar la cantidad deseada.
b) Obtener la aproximación sorteando $100$ números aleatorios.
c) ¿Es buena la aproximación obtenida?

Problema 3: Sea $Z$ una variable aleatoria normal estándar. Calcular $E[\vert Z\vert]$.

Problema 4: Desarrollar dos métodos para generar una variable aleatoria $X$ cuya distribución de probabilidad está dada por:

$$P(X=i) = \frac{\displaystyle \,\frac{\lambda^i}{i!}\,e^{-\l... ...\frac{\lambda^j}{j!}\,e^{-\lambda}} \;\;\; (i = 0, \dots, k)$$

Problema 5: Desarrollar un método para generar una variable aleatoria $X$ cuya distribución de probabilidad está dada por:

$$P(X=j) = \left( \frac{1}{2} \right)^{j+1} + \frac{\left( \... ...aystyle\frac{1}{2} \right) 2^{j-1}}{3^j} \;,\;\; j=1,2,\dots$$

Problema 6: Sea $X$ una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es $P(X=j) = p_j$ con $j=1,2,\dots$. Sea:

$$\lambda_n = P(X=n \vert X>n-1) = \frac{p_n} {1 - \displaystyle \sum_{j=1}^{n-1} p_j} \;,\;\; n=1,2,\dots$$

Las cantidades $\lambda_n$, son las tasas discretas de riesgo. Considerando a $X$ como el tiempo (discreto) de vida de algún artículo, $\lambda_n$ representa la probabilidad de que habiendo sobrevivido hasta el tiempo $n-1$, muera en el tiempo $n$.
a) Mostrar que  $p_1 = \lambda_1$ y que

$$p_n = (1-\lambda_1) (1-\lambda_2) \cdots (1-\lambda_{n-1}) \lambda_n$$

Método de la tasa discreta de riesgo para simular variables aleatorias discretas: Se genera una sucesión de números aleatorios que termina cuando el n-ésimo número generado es menor que $\lambda_n$. El algoritmo puede escribirse como sigue:
Paso 1: X = 1
Paso 2: Generar U
Paso 3: Si U < $\lambda_X$, terminar.
Paso 4: X = X + 1
Paso 5: Ir al Paso 2
b) Mostrar que los valores de $X$ que genera este proceso tienen la distribución de probabilidad deseada.
c) Suponer que $X$ es una variabla aleatoria geométrica con parámetro $p$:

$$P(X=n) = p (1-p)^{n-1} \;,\;\; n \geq 1.$$

Determinar los valores de  $\lambda_n, n \geq 1$. Explique como funciona el algoritmo anterior en este caso y por qué es evidente su validez.

Problema 7: Suponiendo que  $0 \leq \lambda_n \leq \lambda$, para todo $n \geq 1$; considerar el siguiente algoritmo para generar una variable aleatoria con tasas dicretas de riesgo  $\{ \lambda_n \}$:
Paso 1: S = 0
Paso 2: Generar U, $Y = \mbox{Ent} \left[ \displaystyle\frac{\log(U)}{\log(1-\lambda)}\right] + 1$
Paso 3: S = S + Y
Paso 4: Generar U
Paso 5: Si U $\leq \lambda_s/\lambda$, tomar X = S y terminar. Caso Contrario, ir a Paso 2.
a) ¿Cuál es la distribución de $Y$ en el paso $2$?
b) Explique como funciona el algoritmo.
c) Argumentar que $X$ resulta una variable aleatoria con tasas discretas de riesgo  $\{ \lambda_n \}$.

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