Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Física General IV: Óptica


Guía N$^{\circ}$4: Ondas

Problema 1: ¿Cuántas ondas de luz ``amarilla'' ( $\lambda = 580\,$nm) caben en una distancia en el espacio igual al grueso de una hoja de papel ($0.07\,$mm)? ¿Qué tan lejos se extenderá el mismo número de microondas, para las cuales $\nu = 10^{10}\,$Hz?

Problema 2: Utilizando las funciones de onda:

$$\psi_1 = 4 \;\mbox{sen} \,2 \pi \,(0.2 \,x - 3 \,t) \qquad y \qquad \psi_2 = \frac{\mbox{sen}(7 \,x - 3.5 \,t)}{2.5}$$

donde el tiempo está en segundos y $x$ en metros, determinar en cada caso: a) frecuencia, b) longitud de onda, c) período, d) amplitud, e) velocidad de fase y f) dirección del movimiento ondulatorio.

Problema 3: Mostrar que la función: $y(x,t) = A \;\mbox{sen} (kx - \omega t + \phi) ,$ satisface la ecuación diferencial de ondas y corresponde a un movimiento armónico simple en la dirección vertical. Explicar el significado físico de las constantes $k$, $\omega$ y $\phi$.

Problema 4: Determinar cuál de las siguientes expresiones describen ondas ``viajeras'' (en propagación):

$$\begin{array}{lrcl} \mbox{\bf a)}& \psi(y,t) &=& \exp \l... ... d)}& \psi(x,t) &=& A \;\cos^2 2 \pi \,(t-x) \end{array}$$

En los casos positivos, dibujar el perfil de la onda y determinar la velocidad y dirección del movimiento.

Problema 5: Considar una onda luminosa que tiene una velocidad de fase $3\,\mbox{x}\,10^8\,$m/s y una frecuencia $6\,\mbox{x}\,10^{14}\,$Hz.
a) ¿Cuál es la distancia más corta a lo largo de la onda entre dos puntos que tienen una diferencia de fase de $30^o$?
b) ¿Qué cambio de fase ocurre en un punto dado del espacio luego de transcurridos $10^{-6}\,$s?
c) ¿Cuántas ondas han pasado por ese punto en ese lapso de tiempo?

Problema 6: En la figura se muestra en tres instantes de tiempo sucesivos, el mismo máximo de una onda sinusoidal. Escribir una expresión para la onda. Determinar la longitud de onda, velocidad, frecuencia y período.

Problema 7: A partir de la expresión:

$$\psi(x,y,z,t) = A \, \exp \left[ i \left( k_x x + k_y y + k_z z \mp \omega t \right) \right]$$

para una onda plana armónica tridimensional, verificar que:

$$\psi(x,y,z,t) = A \, \exp \left\{ i \left[ k \left( \alph... ...+ \beta y + \gamma z \right) \mp \omega t \right] \right\}$$

donde $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ son los cosenos directores de $\vec{k}$, y se cumple: $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1$.

Problema 8: Mostrar que la expresión: $\psi(x,y,z,t) = f(\alpha x + \beta y + \gamma z \mp v t) ,$ donde $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1$, la cual corresponde a una función de onda plana de perfil arbitrario, satisface la ecuación de ondas tridimensional asumiendo que $f$ es diferenciable dos veces.

Problema 9: Mostrar que: $\psi(\vec{r},t) = \displaystyle\frac{f(r - vt)}{r}$ es una solución de la ecuación de onda tridimensional; y que corresponde a una perturbación esférica centrada en el origen, que se mueve alejándose del origen con velocidad $v$ ($f$ es una función arbitraria dos veces diferenciable).

Problema 10: Mostrar que si $f(\vec{r},t)$ es una solución de la ecuación de ondas, entonces puede expresarse de la forma: $f(\vec{r},t) = U(\vec{r}) \;e^{\pm i \omega t} ,$ donde la función espacial $U(\vec{r})$ satisface la ecuación de Helmholtz: $\nabla^2 U = - k^2 U .$ Considere ahora $U(\vec{r})$ una función compleja: $U(\vec{r}) = A(\vec{r}) \, e^{i g(\vec{r})} .$ Las superficies sobre las cuales la fase de la función compleja $U(\vec{r})$ es una constante, se llaman frentes de onda. Calcular la velocidad de fase de los frentes de onda. Identificar el vector de onda $\vec{k}$ en esta descripción. Comprobar que esta expresión conduce al resultado conocido para el caso de las ondas planas.

Problema 11: Determinar la resultante de la superposición de las ondas paralelas: $E_1 = E_{o1} \;\mbox{sen} (\omega t + \epsilon_1)$ y $E_2 = E_{o2} \;\mbox{sen} (\omega t + \epsilon_2)$ cuando $\omega = 120 \,\pi$, $E_{o1} = 6$, $E_{o2} = 8$, $\epsilon_1 = 0$ y $\epsilon_2 = \pi/2$. Graficar cada función y la resultante.

Problema 12: Responder:
a) ¿Cuántas longitudes de onda $\lambda_0 = 500\,$nm, de luz, cubrirán un hueco de $1\,$m en el vacío?
b) ¿Cuántas ondas cubrirán el hueco cuando una placa de vidrio de $5\,$cm de espesor (n = 1.5) se inserta en la trayectoria?
c) Determinar la diferencia de camino óptico ($\Lambda$) entre las dos situaciones.
d) Verificar que $\Lambda/\lambda_0$ corresponde a la diferencia entre las soluciones de (a) y (b) arriba indicadas.

Problema 13: Utilizar la representación compleja para encontrar la resultante de $E = E_1 + E_2$, donde: $E_1 = E_0 \;\cos(kx + \omega t)$ y $E_2 = - E_0 \;\cos(kx - \omega t)$. Describir la onda compuesta.

Problema 14: Dada la relación de dispersión: $w = a k^2$, calcular tanto la velocidad de fase como la de grupo.

Problema 15: La velocidad de propagación de una onda superficial en un líquido de profundidad mayor a $\lambda$, está dada por:

$$v = \sqrt{ \frac{g \lambda}{2 \pi} + \frac{2 \pi \Upsilon}{\rho \lambda}}$$

donde $g$ es la aceleración de la gravedad, $\lambda$ la longitud de onda, $\rho$ la densidad del líquido y $\Upsilon$ su tensión superficial. Calcular la velocidad de grupo de un pulso en el límite de longitudes de onda largas (estas se conocen como ondas de gravedad).

Problema 16: Demostar que la velocidad de grupo se puede escribir según:

$$v_g = v - \lambda \frac{d v}{d \lambda}$$

o bien, según:

$$v_g = \frac{c}{n + \omega \displaystyle \frac{dn}{d \omega}}$$

Fa.M.A.F ©1997