Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Física General IV: Óptica


Guía N$^{\circ}$7: Difracción

Problema 1: Una fuente puntual $S$ está a una distancia perpendicular $L$, del centro de un agujero circular de radio $R$ en una pantalla opaca. Si la distancia a la periferia es $(L + l)$, mostrar que la difracción de Fraunhofer ocurrirá en una pantalla muy distante si $\lambda \; L >> {R^2}/{2}$. ¿Cuál es el valor satisfactorio más pequeño de $L$ si el agujero tiene un radio de $1\,$mm, $l \leq {\lambda}/{10}$ y $\lambda = 500\,$nm?

Problema 2: Examinar el arreglo experimental usual de la difracción de Fraunhofer, en orden de determinar que sucede en el espacio imagen de las lentes; esto es, localizar la pupila de salida y relacionarla con el proceso de difracción.

Problema 3: Utilizando el hecho que el campo total para N osciladores coherentes viene dado por la suma de N vectores de igual módulo ($E_0$), tales que cada uno forma con el inmediato anterior un ángulo de $\delta$; deducir, mediante una construcción geométrica, la expresión para la irradiancia total de los $N$ osciladores coherentes:

$$I = I_0 \;\frac{\mbox{sen}^2(N \delta / 2)}{\mbox{sen}^2(\delta / 2)}$$

Problema 4: El radiotelescopio de la Universidad de Sidney (diseñado por W. N. Christiansen y construído en Australia en 1951) consta de $N=32$ antenas parabólicas, cada una de ellas con un diámetro de $2\,$m, diseñadas para funcionar en fase en la línea de emisión del Hidrógeno: $\lambda = 21\,$cm, y separadas entre sí por una distancia $d = 7\,$m. Las antenas están distribuidas a lo largo de una línea base este-oeste de manera tal de utilizar la rotación de la tierra como mecanismo de barrido. Calcular la separación angular entre lóbulos sucesivos o máximos principales y el ancho del máximo central de la irradiancia de este radiotelescopio.

Problema 5: La distancia angular entre el centro y el primer mínimo de un patrón de difracción de Fraunhofer por una rendija se denomina abertura angular media.
a) Escribir una expresión general para la abertura angular media.
b) Calcular el ancho lineal medio correspondiente a la difracción de Fraunhofer de una rendija, cuando no hay lente de enfoque presente y la distancia a la pantalla de observación es $L$.
c) Calcular el ancho lineal medio para el caso en que una lente de distancia focal $f_2$ está muy cerca de la abertura.
Notar que el ancho lineal medio es también la distancia entre mínimos sucesivos.

Problema 6: Mostrar que para el patrón de Fraunhofer de dos rendijas, si $a= m \,b$, el número de franjas brillantes (o partes de ellas), dentro del máximo central de difracción, será igual a $2 \,m$.

Problema 7: ¿Cuál es la irradiancia relativa de los máximos subsidiarios en el patrón de difracción de Fraunhofer de tres rendijas? Trazar una gráfica de la distribución de la irradiancia, cuando $a = 2 \,b$, para el caso de dos y luego para el caso de tres rendijas.

Problema 8: A partir de consideraciones de simetría, realizar un esquema aproximado de los patrones de difracción de Fraunhofer correspondientes a una abertura triangular equilátera ($\triangle$) y a una abertura en forma de signo mas ($+$).

Problema 9: En la figura se muestran varias configuraciones de aberturas. Realizar diagramas aproximados de los patrones de difracción de Fraunhofer correspondientes a cada una de ellas. Notar que las regiones circulares deben generar sistemas de anillos similares a los de Airy, centrados en el origen.

Problema 10: El pintor neoimpresionista Georges Seurat fue un miembro de la escuela puntillista. Sus pinturas consisten de un enorme número de pequeños puntos muy próximos ( $\approx 1/10\,$pulgada) de pigmento puro. La ilusión de mezcla de colores se produce sólo en el ojo del observador. ¿Qué tan lejos debe uno pararse frente a tales pinturas a fin de lograr la mezcla de los colores?

Problema 11: Demostrar que la ecuación:

$$a \;(\mbox{sen} \,\theta _m - \mbox{sen} \,\theta _i) = m \;\lambda$$

cuando se aplica a una red de transmisión es independiente del índice de refracción.

Problema 12: ¿Cuál debe ser el número total de líneas de una red para justo separar el doblete del Sodio en el tercer orden? (Doblete del Sodio: $\lambda_1= 5895.9\,$Å$\;$y $\lambda_2 = 5890.0\,$Å).

Problema 13: Suponer que se mira a través de un pedazo de tela, con tejido cuadrado, una fuente puntual ( $\lambda _0 = 600\,$nm) colocada a $20\,$m de distancia. Si se observa un arreglo cuadrangular de puntos brillantes ubicados alrededor de la fuente puntual, cada uno separado por una distancia aparente de $12\,$cm de su vecino más cercano, qué tan juntos están los hilos de la tela?

Fa.M.A.F ©1997