Introducción:

La ecuación general para ondas que se propagan en una dimensión con velocidad $v$ es

$$\frac{\partial \psi^2}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \, \frac{\partial \psi^2}{\partial t^2} \;.$$ (1)

Es fácil verificar como ejercicio que la solución que se comporta como una onda ``viajera'', propagandose en la dirección positiva del eje $x$, es de la forma $\psi(x,t) = f(x-vt)$; donde $v$ es la velocidad de propagación del pulso cuyo perfil está descripto por la función $f$. Dado que en general cualquier función en un intervalo finito puede escribirse como una combinación lineal de funciones periódicas, es importante estudiar los perfiles armónicos, es decir los representados por funciones senos o cosenos

$$\psi(x,t) = A \,\mbox{sen}(kx-\omega t + \phi)$$ (2)

Aquí, $A$ representa la amplitud del movimiento oscilarorio, $\phi$ la fase inicial del movimiento y por lo anteriormente dicho tenemos que

$$\framebox{$v = \omega/k$} \;.$$ (3)

Para reconocer que rol cumplen las constantes $\omega$ y $k$ imaginemos los siguientes experimentos. En primer lugar, fijemos un observador en una dada coordenada $x_0$ y midamos cuanto tiempo debe transcurrir hasta que dicho observador vuelve a encortrar el mismo valor para la perturbación $\psi$. Dado que estamos trabajando con una función seno, este tiempo resulta igual a $\tau = 2 \pi /\omega$. Este valor se conoce como período de la oscilación. En consecuencia, $\omega$ es la frecuencia angular y $\nu = 1/\tau = \omega/2 \pi$ es la frecuencia o frecuencia temporal del movimiento y representa el número de oscilaciones completas por unidad de tiempo que realiza el movimiento ondulatorio periódico en un punto cualquiera del espacio. La unidad en la que se mide la frecuencia resulta entonces el ciclo por segundo o Hertz (Hz).

Como segundo experimento mental, congelemos el movimiento en un dado instante $t_0$ y midamos la distancia entre dos puntos sobre el eje $x$ para los cuales $\psi$ toma el mismo valor. Nuevamente, dado que trabajamos con una función sinusoidal obtenemos que dicha distancia es $\lambda = 2 \pi/k$ y se conoce como longitud de onda. Así, resulta que $k$ es el número de onda y mide el número de oscilaciones completas por unidad de longitud. De lo expresado en la Ec. (3), obtenemos la relación que víncula a $v$, $\lambda$ y $\nu$

$$\framebox{$v = \lambda \nu$} \;.$$ (4)

Si se superponen ondas la función resultante es la suma de las correspondientes funciones de onda. Este principio de superposición da lugar a la existencia de ondas estacionarias. A tal fin, supongamos que tenemos dos ondas armónicas en fase y de igual amplitud pero viajando en sentidos opuestos:

$$\psi_1 = A \,\mbox{sen} (kx -\omega t) \qquad \psi_2 = A \,\mbox{sen} (kx +\omega t) \;.$$ (5)

Utilizando la idéntidad trigonométrica

$$\mbox{sen} \,\alpha + \mbox{sen} \,\beta = 2 \, \mbox{sen}... ...2} \right) \, \cos \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right) \;,$$ (6)

resulta de forma inmediata que

$$\psi(x,t) = \psi_1(x,t)+\psi_2(x,t) = 2 A \; \mbox{sen} (kx) \,\cos(\omega t) \;.$$ (7)

Temos de esta manera que la onda resultante tiene un patrón espacial estacionario descripto por el primer factor del último miembro de la Ec. (7), el cual ``parpadea'' en el tiempo modulado por el segundo factor de la Ec. (7). Este parpadeo temporal se produce con frecuencia $\nu = \omega / 2 \pi$.