Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Probabilidad y Estadística - Licenciatura en Computación y Profesorados


Guía N$^{\circ}$8: Estimación de los Parámetros

Problema 1: Una variable aleatoria $X$ tiene fdp $f(x) = (\beta + 1) \,x^{\beta}$, $0 < x < 1$, y $f(x) = 0$ en caso contrario, siendo $\beta > 0$ un parámetro desconocido.
a) Obtener el estimador de MV (máxima verosimilitud) de $\beta$, en base a una muestra $X_1, X_2, \dots, X_n$.
b) Evaluar el estimador si los valores muestrales son $0.3$, $0.8$, $0.27$, $0.35$, $0.62$ y $0.55$.

Problema 2: Suponer que $T$, el tiempo estimado (expresado en horas) para que ocurra la falla de un instrumento electrónico, tiene la siguiente fdp:

$$f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \beta \,\mbox{exp}(- \be... ..._0 < t \\ 0 \,, & \mbox{en otro caso} \end{array} \right.$$

siendo $\beta > 0$ un parámetro desconocido. $T$ resulta así con una distribución exponencial truncada a la izquierda de $t_0$. Suponer que se prueban $n$ artículos y que se anotan los tiempos en los cuales estos fallan: $T_1, T_2, \dots, T_n$.
a) Suponiendo que $t_0$ es conocido, obtener el estimador de MV de $\beta$.
b) Suponiendo que $t_0$ es desconocido, pero $\beta$ conocida, obtener el estimador de MV de $t_0$.
c) Considerar ahora que se prueban $N$ artículos durante $T_0$ horas ($T_0 > t_0$) y se anota el número $k$ de artículos que fallan en tal período. Si $t_0$ es conocido, obtener el estimador de MV para $\beta$.

Problema 3: La variable aleatoria $X$ tiene una distribución de Weibull, cuya densidad de probabilidad, definida para $x > 0$, está dada por:

$$f_X(x) = \lambda \,\alpha \,x^{\alpha-1} \,\exp(-\lambda x^{\alpha}) \;.$$

Sea $X_1, \dots, X_n$ una muestra de la variable aleatoria $X$. Calcular por el método de máxima verosimilitud un estimador para el parámetro $\lambda$ ($\hat\lambda$). Asumir que el parámetro $\alpha$ es una constante conocida.

Problema 4: Sea  $X_1, \dots, X_n$ una muestra aleatoria de una variable con distribución ${\cal U}(0, \theta)$ ($\theta > 0$). Calcular el estimador de MV para $\theta$. ¿Es un estimador insesgado?

Problema 5: La variable $X$, que mide la resistencia al corte de soldaduras eléctricas, tiene distribución normal con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$. Sea $X_1, \dots, X_n$ una muestra de la variable aleatoria $X$.
a) Calcular por el método de máxima verosimilitud los estimadores para $\mu$ y $\sigma^2$.
b) Estimar por máxima verosimilitud el percentil $95\%$ del valor de resistencia al corte; es decir, estimar $x_0$ tal que $P(X \le x_0) = 0.95$.

Problema 6: Comparar el valor de $P(X \geq 1)$, donde $X$ tiene una distribución $N(0,1)$, con $P(t \geq 1)$, donde $t$ tiene una distribución $t$ de Student con: a) 5 g.l., b) 15 g.l. y c) 25 g.l.

Problema 7: La variable aleatoria $X$ tiene distribución $N(2,4)$. Sean  $X_1, \dots, X_{20}$ una muestra aleatoria de $X$, obtenida a partir de la Tabla 7 del Apéndice del libro de Paul Meyer.
a) Suponer que la muestra obtenida corresponde a una variable aleatoria con distribución ${\cal N}(\mu, 4)$. Usar los valores muestrales para dar un intervalo de confianza del $95\%$ para $\mu$.
b) Suponer ahora que la muestra proviene de una distribución ${\cal N}(\mu, \sigma^2)$ con $\sigma^2$ desconocido. Usar nuevamente los valores muestrales para construir el intervalo de confianza del item anterior.
c) Comparar las longitudes de los intervalos de confianza obtenidos en (a) y (b).
d) Suponger que la muestra obtenida corresponde a una variable aleatoria con distribución ${\cal N}(\mu, \sigma^2)$. Usar los valores muestrales para dar un intervalo de confianza del $95\%$ para $\sigma^2$.

Problema 8: Suponer que la duración de un componente tiene una distribución normal, digamos $N(\mu,9)$. Se prueban $20$ componentes y se anotan los tiempos en los cuales ocurren sus respectivas fallas  $X_1, \dots, X_{20}$. Suponer que $\overline{X} = 100.9$ horas. La confiabilidad de un sistema denotada por $R(t)$, está definida según $R(t) = P(T > t)$, donde $T$ es la variable correspondiente a la duración del componente hasta su falla.
a) Obtener un intervalo de confianza bilateral de $99 \%$ para la confiabilidad $R(100)$.
b) Obtener un intervalo de confianza unilateral (inferior) de $99 \%$ para la confiabilidad $R(100)$.

Problema 9: La siguiente muestra de tamaño $5$, se obtuvo de la variable aleatoria bidimensional $(X,Y)$. Usando estos valores, calcular el coeficiente de correlación muestral.

x	1	2	3	4	5
y	4	5	3	1	2

Problema 10: Sean  $\hat{\alpha}$ y $\hat{\beta}$ los estimadores de cuadrados mínimos correspondientes a la relación lineal: $E(Y) = \alpha \,X + \beta$.
a) Verificar que estos estimadores son insesgados, es decir:  $E(\hat{\alpha}) = \alpha$ y  $E(\hat{\beta}) = \beta$.
b) Calcular las varianzas  $V(\hat{\alpha})$ y  $V(\hat{\beta})$.

Problema 11: Suponer que  $E(Y) = \alpha \,X + \beta$. Se dispone de una muestra de tamaño $50$: $(x_i,Y_i)$, $i = 1, \dots, 50$; para la cual $\overline{x} = \overline{Y} = 0$, $\sum_{i=1}^{50} \,x_i^2 = 10$, $\sum_{i=1}^{50} \,Y_i^2 = 15$ y $\sum_{i=1}^{50} \,x_i \,Y_i = 8$.
a) Determinar los estimadores de mínimos cuadrados de los parámetros $\alpha$ y $\beta$, es decir $\hat{\alpha}$ y $\hat{\beta}$.
b) ¿Cuál es el valor de la suma mínima de cuadrados: $\sum_{i=1}^{50} \,[Y_i - (\hat{\alpha} \,x_i + \hat{\beta})]^2$?

Fa.M.A.F ©2002