Facultad de Matemática, Astronomía y Física
Universidad Nacional de Córdoba

Probabilidad y Estadística - Licenciatura en Computación y Profesorados


Práctico Especial 2002: Soluciones

Problema de Probabilidad
a)

$$f_L(l) = \left\{ \begin{array}{cl} \pi/2 \, \cos \left( \... ... 0 &, \, \mbox{ si $l \not\in(0,1)$} \end{array} \right.$$

b)

$$F_L(l) = \left\{ \begin{array}{cl} 0 &, \, \mbox{ si $l ... ...0,1)$} \\ 1 &, \, \mbox{ si $l > 1$} \end{array} \right.$$

c)

$$E[L] = 1 - \frac{2}{\pi} \;, \qquad E[L^2] = 1 - \frac{8}{... ...\qquad \mbox{Var}[L] = \frac{4}{\pi} - \frac{12}{\pi^2} \;.$$

Problema de Estadística
a-b) Ajuste lineal:

c-d) Estadística de los residuos:

$$\begin{array}{rl} n = & 100 \\ \overline{X} = & -3.13 \t... ...43565 \\ Q_2 = & -0.05889 \\ Q_3 = & 0.52215 \end{array}$$

e) Histograma de los residuos y comparación con la normal:

g) Prueba de hipótesis sobre los residuos:
$\begin{array}{l} \mbox{H}_0: \mu = 0 \\ \mbox{H}_1: \mu \neq 0 \end{array}$          $Z = \displaystyle\frac{\overline{X}}{\sigma_X} \,\sqrt{n}$          $\vert\overline{X}\vert < C \Longrightarrow \vert Z\vert < \displaystyle\frac{C}{\sigma_X} \,\sqrt{n} = z_{\alpha/2}$
Aproximando $\sigma_X \approx S_{n-1}$ tenemos que:
$\alpha = 0.05 \Rightarrow z_{\alpha/2} = 1.96 \;\;$ y          $C = z_{\alpha/2} \displaystyle\frac{\sigma_X}{\sqrt{n}} \approx 0.15$
Resulta así que se cumple la condición $\vert\overline{X}\vert < C$ y por lo tanto la muestra no aporta evidencia suficiente para rechazar H$_0$.
h) Prueba de hipótesis sobre los parámetros del ajuste lineal:

h1)
$\begin{array}{l} \mbox{H}_0: b = 0 \\ \mbox{H}_1: b \neq 0 \end{array}$          $Z = \displaystyle\frac{\hat{b}}{\sigma_{\hat{b}}}$          $\vert\hat{b}\vert < C \Longrightarrow \vert Z\vert < \displaystyle\frac{C}{\sigma_{\hat{b}}} = z_{\alpha/2}$
El p-valor es el menor valor de $\alpha$ que admite la muestra para rechazar, y corresponde a $C = \hat{b}$. Por lo tanto:
$z_{p/2} = \displaystyle\frac{\hat{b}}{\sigma_{\hat{a}}} = 51.25\;\;$ y resulta $p < 10^{-6}$.
h2)
$\begin{array}{l} \mbox{H}_0: a = 0 \\ \mbox{H}_1: a > 0 \end{array}$          $Z = \displaystyle\frac{\hat{a}}{\sigma_{\hat{a}}}$          $\hat{a} < C \Longrightarrow Z < \displaystyle\frac{C}{\sigma_{\hat{a}}} = z_{\alpha}$
El p-valor es el menor valor de $\alpha$ que admite la muestra para rechazar, y corresponde a $C = \hat{a}$. Por lo tanto:
$z_p = \displaystyle\frac{\hat{a}}{\sigma_{\hat{a}}} = 35.55 \;\;$ y resulta $p < 10^{-6}$.

Fa.M.A.F ©2002