\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\newcommand\al{\alpha}
\newcommand\noi{\noindent}

\begin{center}
 \textbf{ANALISIS IV - 1999\\Pr\'actico 1} 
\end{center}



\begin{enumerate}
\item  Reducir las siguientes expresiones a la forma $x + iy$:
 \begin{enumerate}
\item $(2-3i) (2+3i)   $
\item  $\displaystyle{\frac{(3+i)}{3-4i} - \frac{(2-i)}{8i}}$

 \end{enumerate}


\item   Determinar $\bar{z}$, Re($z$), Im($z$)  y $|z|$:
\begin{enumerate}
\item  $z=4i - 3$

\item  $z=-2i$

\item  $z=(4i)^2$

\end{enumerate}

\item  Probar que
\begin{enumerate}

\item $\overline{z_1 \cdot z_2}  = \overline{z_1}  \cdot \overline{z_2} $

\item  $\bigl||z_1| - |z_2|\bigr| \le |z_1 - z_2|$

\item  Si $|z_2| \neq |z_3|$, $\displaystyle{\left|\frac{z_1} {z_2 + z_3}  \right|
\le \frac{|z_1|} {\left||z_2| - |z_3|\right|}}$ 
\end{enumerate}



\item  Graficar en el plano los conjuntos donde $z$ satisface:
\begin{enumerate}
\item  $ |z| = 1 $

\item  $\mbox{Im} (z)  = 0 $

\item  $|3z+2| <1$

\item  $0<\arg z \le \pi$

\item  $\{\mbox{Im} (z)  
\ge 2\}\cup \{\mbox{Re} (z^2)  > 0\}$

\item  $\displaystyle{\mbox{Im} \bigl(z+1/z\bigr) =0}$
\end{enumerate}


 


\item  Usar la forma polar para simplificar las siguientes expresiones.
Hallar en cada caso el m\'odulo y el argumento principal del resultado. 
\begin{enumerate}
\item  $i(1-i\sqrt{3}) (\sqrt{3} +i) $

\item  $\displaystyle{\frac{3}{(\sqrt{3} - i) ^2}}$

\item  $(1+i)^{3}$

\item  $i^5\cdot i^3$
\end{enumerate}


\item \begin{enumerate}

\item Probar la identidad 
\[
1 + z + z^2 + \cdots + z^n = \frac {1-z^{n+1}} {1-z}
\]
Ayuda:
llamando $s=1 + z + z^2 + \cdots + z^n $, calcular $(1-z)s$.

\item Mostrar que si $c$ es una ra\'\i z n-\'esima de la unidad, 
$c \neq 1$, entonces
\[ 
1 + c + c^2 + \cdots + c^{n-1} = 0
\]

\item Probar la identidad trigonom\'etrica de Lagrange:
\[
1+\cos\al+\cos (2\al)+\cdots+\cos (n\al)=\frac 1 2+\frac 
{\mbox{sen\,}\big(\big(n+\frac
1 2\big)\al\big)} {2\mbox{sen\,}(\al/2)}
\]
\end{enumerate}

\item Hallar todas las ra\'\i ces de las siguientes ecuaciones y dibujarlas.
\begin{enumerate}
\item $ z^5 - 32 = 0 $

\item $ z^2 - 2i = 0$

\item $ z^3 + 1=0$


\end{enumerate}

\item Hallar las ra\'\i ces de la ecuaci\'on $z^4
+4=0$ y usarlas para factorizar $z^4+4$ en producto de polinomios de grado
dos con coeficientes reales.


\item Representar gr\'aficamente los siguientes conjuntos y determinar
cu\'ales son abiertos y conexos (y por tanto, dominios), cu\'ales son
acotados, y cu\'al no es abierto ni cerrado.
\begin{enumerate}
\item $|z-(2+i)| \le 1$

\item $\mbox{Im} z = 3$

\item $|2z + 5| > 2$

\item $|z-4| \ge |z|$

\item $0 < \arg z < \pi/4 \quad (z\neq 0)$

\item  $ \pi/4 \le \arg z \le \pi/2 \quad (z\neq 0)$
\end{enumerate}


\item Representar las clausuras de los conjuntos:
\begin{enumerate}
\item $-\pi < \arg z \le \pi \quad (z \neq 0)$

\item $|Re(z)| < |z|   $

\item $|Im(z)| \le 1/2$

\item $Re(z^2) > 0$

\end{enumerate}

\item  Determinar los puntos de acumulaci\'on de los conjuntos:
\begin{enumerate}
\item $z_n = i^n\quad(n= 1,2, \ldots)$

\item $z_n = i^n/n \quad (n=1,2,\ldots)$

\item  $0 \le \arg z <\pi/2 \quad (z \neq 0)$

\item $z_n = \displaystyle{\frac{(-1)^n(1+i)(n-1)}n} \quad(n = 1,2, \ldots)$

\item $0 < |z-z_0| \leq r$.
\end{enumerate}

\item Usando el hecho de que $|z_1 - z_2|$ es la distancia entre dos puntos $z_1$ y $z_2$, decir qu\'e curvas describen los siguientes conjuntos:

\begin{enumerate}
\item $z^2 - \overline{z}^2 = 2$
\item $|z - 4i| + |z + 4i| = 10$
\item $|z - 1| = |z + i|$.
\item $|z|^2-2Re(z .\bar{z_0})+|z_0|^2=R^2$, donde  $R>0$.

\end{enumerate}

\item Probar que si un conjunto $S$ contiene a cada uno de sus puntos de acumulaci\'on entonces $S$ es cerrado.

\item Mostrar que un conjunto finito $\{ z_1, z_2, \dots z_n \}$ no puede tener puntos de acumulaci\'on.

\item Mostrar que un conjunto $S$ es no acotado si y solo si todo entorno de $\infty$ contiene al menos un punto de $S$.
  


 
\end{enumerate}

\end{document}
