\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}

\newcommand{\dstyle}{\displaystyle}
\newcommand{\sen}{\mbox{sen}}
\newcommand{\senh}{\mbox{senh}}

\hyphenation{si-guien-tes}
\hyphenation{exis-te}

 \begin{center}
 \textbf{ANALISIS IV - 1999 \\ Pr\'actico 2} 
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Hallar el dominio de definici\'on de las siguientes funciones complejas:

a) $\dstyle{f(z) = \frac{1}{z\sqrt{2-|z|}}} $
\qquad  b) $\dstyle{f(z) = \frac{z}{z+\bar{z}}}$ \qquad c) $\dstyle{f(z) = \frac{z}{z^3-1}}$

\item Expresar las siguientes funciones en la forma $u(x,y) + iv(x,y)$:

a) $\dstyle{f(z) = z^3 + z - 1}$ \qquad
b) $\dstyle{f(z) = \frac{\bar{z} - 1}{z^2 + 1}}$.


\item Demuestre usando la definici\'on de l\'\i mite, que 
\begin{enumerate}

\item$\dstyle{ \lim_{z\to 0}\frac{\overline {z}^2}{z} = 0}$

\item
$\dstyle{\quad\lim_{z\to \infty}f(z) = \infty \quad 
\mbox{si y s\'olo si} \quad \lim_{z\to
0} \frac{1}{f(1/z)} = 0}$.
\end{enumerate}

\item Hallar los siguientes l\'\i mites:

 a) $\dstyle{\lim_{z\to i}\frac{iz^3-1}{z+i}}$ \qquad
b) $\dstyle{\lim_{z\to \infty} \frac{4z^2}{(z-1)^2}}$\qquad
c) $\dstyle{\lim_{z\to \infty}\frac{z^2 + 1}{z+1}}$


\item Analizar, aplicando la definici\'on,  d\'onde existe $f'(z)$ y calcularla donde exista.

a) $\dstyle{f(z) = \mbox{Im} z}$\qquad
b) $\dstyle{f(z) = |z|^2}$ \qquad  c) $\dstyle{f(z)=\mbox{Re}z}$.

\item Usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann para determinar si existe $f'(z)$. En caso afirmativo, calcularla:
 
a) $f(z) = iz+2$ \qquad \qquad
b) $f(z) = \cos x\cdot \cosh y + i \sen x\cdot \senh y$

\smallskip

c) $f(z) = e^{x}\cdot e^{-iy}$ \qquad
d) $\dstyle{f(z) = \frac{x}{x^2 + y^2} + i\frac{y}{x^2 + y^2}}$\qquad \qquad

\item Sea $f$ una funci\'on anal\'\i tica en un dominio $D$ y sea $c$ una
cons\-tante compleja arbitraria. Probar que cualquiera de las condiciones
siguientes implica que $f$ es cons\-tante en $D$.
\begin{enumerate}
\item $f'(z)= 0$, $\forall z \in D$.

\item $\mbox{Re}f(z) = c$, $\forall z \in D$.

\end{enumerate}

\item Sea $f=u+iv$ una funci\'on anal\'{\i}tica en un dominio $D$. Sean $a,b$ y $c$ constantes reales no todas nulas. Si $au(x,y)+bv(x,y)=c$  $\forall (x,y) \in D$, probar que $f$ es constante en $D$. Es cierto lo mismo si $a,b$ y $c$ son constantes complejas ?.   


\item   Sea $A$ un subconjunto abierto de ${\bf C}$ tal que $A \cap \{z: Im(z)=0, Re(z) \leq 0 \}= \emptyset$,  y sea 
$f: A\to {\bf C}$ una funci\'on, $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$. Definiendo 
$\tilde{u}(r,\alpha)=u(r\cos\alpha,r\sen\alpha)$ y $\tilde{v}$ an\'alogamente, tenemos que 
\[
f(r e^{i\alpha})=  F(r,\alpha) 
                 = \tilde{u}(r,\alpha)+i\tilde{v}(r,\alpha) \qquad re^{i \alpha} \in A
\]
Usar la regla de la cadena para mostrar que las derivadas parciales de $u$ y
$v$ existen y son continuas en $A$ si y s\'olo si lo mismo sucede para $\tilde{u}$
y $\tilde{v}$. 

 Probar que $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en
$A$ si y s\'olo si $\tilde{u}$ y $\tilde{v}$ satisfacen las llamadas ecuaciones de
Cauchy-Riemann polares en  $A$:
\[
\tilde{u}_r=\frac 1 r \tilde{v}_\alpha \mbox{\quad y \quad}  \tilde{u}_\alpha=-r\tilde{v}_r
\]

 Mostrar que si se cumplen las condiciones anteriores, entonces
\begin{eqnarray*}
f'(z)&=&e^{-i\alpha}\big(\tilde{u}_r(r, \alpha)+i\tilde{v}_r(r,\alpha)\big)\\
       &=&\frac 1 {r} e^{-i\alpha}\big(\tilde{v}_\alpha(r,\alpha)-i\tilde{u}_\alpha(r,\alpha)\big),  
\end{eqnarray*}
donde   $z=r e^{i \alpha}$.


\item Verificar que $u(x,y)$ es arm\'onica en alg\'un dominio y hallar una
arm\'onica conjugada $v(x,y)$ en los casos siguientes:

\begin{enumerate}
\item $u(x,y) = 2x(1-y)$.

\item $u(x,y) = 2x - x^3 +3xy^2$.

\item $\dstyle{u(x,y) = \frac{y}{x^2 + y^2}}$.

%\noi d) $u(x,y) = x^3 - 3xy^2$.

\item $u(x,y) = \cos x \cdot \cosh y$.

\item $u(x,y)= Re(\frac{z}{z^3-1})$.
\end{enumerate}




\item Sea $X=(u(x,y), v(x,y))$ un campo de clase $C^1$ en el plano. El campo 
$X=(u,v)$ se
dice \sl incompresible \rm (respectivamente \sl irrotacional\rm) si 
su divergencia $div(X)=u_x+v_y$ (respectivamente su rotor $v_x-u_y$) se anula
id\'enticamente. Mostrar que la funci\'on $f=u-iv$ es anal\'\i tica si y
s\'olo si el campo $X=(u,v)$ es irrotacional e incompresible. 

  
\item Sea $f$ una funci\'on compleja en un dominio $ D$. Se define \\
$ \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial f}{\partial x} +i\frac{\partial f}{\partial y} \right )$. Mostrar que $f$ satisface las ecuaciones de Cauchy- Riemann en $D$ si y solo si  $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$.




\item  Si $f(z)$ es anal\'\i tica, probar que las curvas $u(x,y)=$ 
cons\-tante
y $v(x,y)$ = cons\-tante 
se intersecan ortogonalmente siempre que $f'(z) \neq 0$ en
el punto de intersecci\'on.
Dichas curvas se denominan {\it curvas de nivel}.

\begin{enumerate}
\item
Trazar una parte de las curvas $r =$ constante, $\theta=$ constante
para la funci\'on $f(z) = 1/z$ y verificar que son ortogonales.

\item Trazar una parte de las curvas $u =$ constante, $v=$ constante
para la funci\'on $g(z) = \dstyle{\frac{z-1}{z+1}}$  y verificar que son ortogonales.
 
\end{enumerate}



\item Sea $f(z) = \frac{1}{z}$.
\begin{enumerate}
\item >Cu\'al es la imagen de un c\'\i rculo de radio $r$ centrado en 0?
\item >Cu\'al es la imagen de un c\'\i rculo de radio $a$ centrado en a? ($a$ real).
\item >Cu\'al es la imagen de un sector $\{z \mid \alpha \le \arg z \le \beta\}$?
\end{enumerate}

\item Considere la funci\'on $\dstyle{f(z) = z + \frac{1}{z}}$. Determine:
\begin{enumerate}
\item cu\'al es la imagen de un c\'\i rculo de radio $r$.
\item cu\'al es la imagen del semianillo circular $\{z = re^{i\theta} \mid 0 \le \theta \le \pi,\ 1 \le r \le b\}$, con $b \ge 1$.
\item cu\'al es la preimagen del semiplano $\{w \mid \mbox{Im}w \ge 0\}$.
\end{enumerate}







\end{enumerate}
\end{document}



