\documentstyle[12pt]{article}

\begin{document}

\newcommand {\sen}{\mbox{sen}}
\newcommand {\Log}{\mbox{Log}}
\newcommand {\senh}{\mbox{senh}}
\newcommand {\Arg}{\mbox{Arg}}
\newcommand {\arcsen}{\mbox{arcsen}}


\begin{center}
\textbf{AN\'ALISIS IV -1999\\ Pr\'actico 3}
 \end{center}

\begin{enumerate}
\item Probar que

a) $\exp({2 + \pi i \over 4}) = \sqrt{{e\over 2}}\ (1 + i)$
\qquad \qquad
b) $\exp(z + \pi i) = - \exp z$

\item Hallar los valores de $z$ para los cuales:

a) $e^z = -2$ \qquad b) $e^{2z-1} = 1$  \qquad c) $|e^{(-2z)}| < 1$

d) $\mbox{Im}(e^z) = 0$ \qquad e) $\mbox{Re} (e^z) = 0$ \qquad f) $\Arg(e^z) = \pi/4$

\item Probar que $\exp (\overline z)$ no es anal\'\i tica en ning\'un punto.

\item Graficar la imagen por $\exp(z)$ de los siguientes conjuntos:
\begin{enumerate}
\item $\mbox{Re}(z) = a$, con $a$ constante.
\item $a \le \mbox{Re}(z) \le b$, con $a, b$ constantes.
\item $\mbox{Im}(z) = c$, con $c$ constante.
\item $c \le \mbox{Im}(z) \le d$, con $c, d$ constantes.
\item $R = \{z \mid A \le \mbox{Re}(z) \le B,\ C \le \mbox{Im}(z) \le D\}$.
\item La recta $y = ax$, ($a \neq 0$).
\end{enumerate}

\item Para $r>0$, sea $A = \{ \omega \mid \omega = \exp (1/z),\ 0 < |z| < r\}$; determine el conjunto $A$.

\item Hallar las ra\'\i ces de las siguientes ecuaciones:

a) $\cos z = 2$ \qquad b) $\cos z = 0$

c) $\sen z = 2$ \qquad d) $\sen z = \cos z$

\item Pruebe las siguientes identidades:

a) $ e^{iz} = \cos z + i \sen z $\qquad b) $ \sen (p/2 - z) = \cos z$ 

c) $\sen^2 z + \cos ^2 z= 1 $ \qquad 
d) $\displaystyle{\tan(2z) = {2 \tan(z) \over 1 - \tan^2(z)}}$

e) $\sen(z_1 + z_2) = \sen z_1 \cos z_2 + \sen z_2 \cos z_1$

\item Hallar las ra\'\i ces de las ecuaciones:

a) $\cosh z = 1/2$ \qquad b) $\senh z = i$ \qquad c) $\cosh z = -2$


\item Considere la funci\'on $f(z) = \sen z$, y la regi\'on del plano complejo $B=\{z = x + i y \mid - \pi/2 \le x \le \pi/2,\ y \ge 0\}$.
\begin{enumerate}
\item Pruebe que la frontera de $B$ se mapea inyectivamente sobre el eje real.
\item Calcule y grafique las im\'agenes de una semirrecta vertical $x = c$, $y \ge 0$, interior a la banda.
\item Pruebe $B$ se mapea inyectivamente \underline{sobre} la clausura (cierre) del semiplano superior. 
\item >Cu\'al es la imagen de una regi\'on rectangular $-\pi \le x \le \pi$, $a \le y \le b$ ubicada en el semiplano superior?
\end{enumerate}


\item >Qu\'e regi\'on del plano complejo se mapea inyectivamente sobre el semiplano superior por la aplicaci\'on:

a) $\cos z$ \qquad \qquad b) $\senh z$?


\item Calcular:

a) $\Log (-ei)$ \qquad b) $\Log (1-i)$ \qquad c) $\Log (1 + e^{-i\theta}),\ -\pi < \theta < \pi$

\item Probar que
\begin{enumerate}
\item $\Log [(1 + i) ^ 2] = 2 \Log (1+i)$ 
\item $\Log [(-1 + i) ^ 2] \neq 2 \Log (-1+i)$
\end{enumerate}


\item Probar que para todo par de complejos $z_1$ y $z_2$ no nulos
$$\Log (z_1\ z_2) = \Log z_1 + \Log z_2 + 2N\pi i$$
siendo $N$ uno de los valores $0$, $\pm 1$. Probar que si $z_1$ y $z_2$ pertenecen al cuadrante $x >0$, $y>0$, entonces $N = 0$.

\item Dar la rama principal de $\sqrt{1-z}$.

\item Pruebe que la parte real de la funci\'on $z^{{1\over 2}}$ es siempre positiva.

\item Sea $G = {\bf C} - \{z \in {\bf R } \mid z \le 0\}$ y sea $n$ un entero positivo. Encuentre todas las funciones anal\'\i ticas $f: G \mapsto {\bf C}$ tales que $z = (f(z))^n$, para todo $z \in G$.

\item Hallar todos los valores de 

a) $(1 + i) ^i$ \qquad b)$(-1)^{1/n}$, $n \in {\bf Z}$ \qquad
c) $\log(i^{1/2})$

\item Hallar el valor principal de 

a)  $i^{-i}$ \qquad b) $[(e/2)(-1-\sqrt 3 i )]^{3\pi i}$ \qquad c) $(1-i)^{4i}$

\item Analice las propiedades del mapeo $(1-z)^i$.

\item Sea $c$ un complejo no nulo. >Qu\'e restricci\'on debe cumplir $c$ para que todos los valores de $|i|^c$ sean iguales?

\item Suponiendo que $f'(z)$ existe, hallar la expresi\'on de la derivada ${d \over dz}(c^{f(z)})$.

\item Pruebe {\it algunas} de las siguientes f\'ormulas:

\begin{enumerate}
\item $\arcsen z = -i \log(iz \pm \sqrt{1-z^2})$
\item $\arccos z= -i \log(z \pm \sqrt z^2 - 1)$
\item $\displaystyle{ \arctan z = {1\over 2i} \log{1 + iz \over 1 -iz}}$
\end{enumerate}

\item Encontrar:  a) $\arctan{2i}$ \qquad b) $\arctan(1-i)$.

\end{enumerate}

\end{document}