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\begin{document}


\begin{center}
\textbf{AN\'ALISIS IV -1999\\ Pr\'actico 4\\ Elementos de Topolog\'{\i}a de $\mathbb{R}^n$}
\end{center}

\begin{enumerate}


\item       
\noindent  (a) Verificar que las siguientes funciones definen normas en $\mathbb{R}^n$:\\
\noindent i)$ \parallel x \parallel _1= \sum_{k=1}^{n} |x_k|$.\\
 \noindent ii)$ \parallel x \parallel_{\infty}= \text{max} \{ |x_1|, \dots |x_n| \}$.\\
\noindent (b) Probar que toda norma  satisface $ \parallel x\parallel =0$   $\Leftrightarrow x=0$. \\
\noindent (c) Demostrar que para toda norma $\parallel , \parallel$ se cumple $ \displaystyle{| \parallel x \parallel - \parallel y \parallel | \leq \parallel x-y \parallel }$ para $x,y \in \mathbb{R}^n$.


\item  Recordar que la norma Eucl\'{\i}dea en $\mathbb{R}^n$ se define por $ | x| = (\sum_{k=1}^{n} |x_k|^2)^{\frac{1}{2}}$. 
\begin{enumerate}
\item Demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwartz: 
\[
                |x.y| \leq  | x |  .| y |  \qquad \forall x,y \in \mathbb{R}^n
\] 
En donde $x.y= \sum_{k=1}^{n} x_k y_k$ es el producto escalar usual. Indicaci\'on: calcular $ | x-ty|^{2}$ y analizar las raices de la ecuaci\'on $ | x-ty| ^{2}=0$ como funci\'on de la variable real $t$.
\item Mostrar que en la desigualdad de Cauchy-Schwartz vale la igualdad si y solo si los vectores $x$ e $y$ son linealmente dependientes (o colineales).
\item Probar que  $ | x |$ satisface la desigualdad triangular y que por lo tanto define una norma en $\mathbb{R}^n$. 
\end{enumerate}

\item Probar que si $\parallel , \parallel $ es cualquier norma en $\mathbb{R}^n$ entonces existe una constante positiva $M$ tal que $\parallel x \parallel  \leq M |x| $ \, $\forall x \in \mathbb{R}^n$. Hint: expresar $x = \sum  x_j e_j$ y calcular $\parallel x\parallel $, donde $e_j$ es el $j$-\'esimo vector de la base can\'onica de $\mathbb{R}^n$. \\
Deducir del Problema 1 parte c) que la funci\'on distancia al punto $x_0$ definida por $f(x)= \parallel x-x_0 \parallel$ es cont\'{\i}nua respecto de la norma eucl\'{\i}dea $| \:, \:  |$ \, es decir  lim $f(x) = f(a)$ para  $| x-a | \to 0$. 
  
  
\item a) Probar que la uni\'on de una cantidad finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Dar un ejemplo en el que la uni\'on de una cantidad infinita de cerrados puede no ser un cerrado.\\
\noindent b) Mostrar que la intersecci\'on de una cantidad infinita de abiertos puede no ser abierta.\\
\noindent c) Hallar el interior del conjunto de n\'umeros racionales $\mathbb{Q}$ como  subconjunto de $\mathbb{R}$.\\
\noindent d) Probar que $\overline{B(x_0 ,r)}=\{ x \in \mathbb{R}^n : |x-x_0| \leq r \}$.

\item  Sea $f : A \to \mathbb{R}^m$,\, $A \subset \mathbb{R}^n$.  Dado un subconjunto $X \subset \mathbb{R}^m$, \, \underline{la imagen} \underline{ inversa  de $X$ por la funci\'on $f$} se define por 
\[
f^{-1}(X)= \{ x \in A : f(x) \in X \}
\]  
\begin{enumerate}
\item Suponiendo que el dominio $A$ de $f$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y sea $a \in A$, probar que $f$ es cont\'{\i}nua en $a$ si  y solo si $\forall \varepsilon >0$ \, $\exists \delta >0$ tal que $B(a, \delta) \subset f^{-1}(B(f(a), \varepsilon))$. 

\item  Probar que $f$ es  cont\'{\i}nua  (i.e. $f$ es cont\'{\i}nua en cada punto $a \in A$ ) si y solo si para todo abierto $O \subset \mathbb{R}^m$, $f^{-1}(O)$ es un abierto de $\mathbb{R}^n$ contenido en $A$.


 
\end{enumerate}

\item Sea $\{x_n \}$ una sucesi\'on en $\mathbb{R}^m$. Probar que si $x_n \to a$ para $n \to \infty$, entonces toda subsucesi\'on $ \{ x_{n_j} \} \subset \{x_n \}$ converge tambi\'en a $a$.

\item Si $x_n \to a$ y $ y_n \to b$, probar que $x_n.y_n \to a.b$.

\item Probar que  $l$ es un punto de acumulaci\'on de la sucesi\'on $\{ x_n \} \subset \mathbb{R}^m$ si y solo si existe una subsucesi\'on $\{ x_{n_j} \} \subset \{ x_n \}$ tal que lim$_{j \to \infty} x_{n_j}=l$.

\item Sea $\{ x_n \}$ una sucesi\'on cualquiera de n\'umeros reales. Consideramos los conjuntos $A_k= \{ x_k, x_{k+1}, \dots \}$ para $k=1,2,3, \dots$. Sean $a_k=\text{inf}A_k$ y $b_k=\text{sup}A_k$. 

 \noindent a) Probar que $\{ a_k \}$ es mon\'otona creciente y $\{ b_k \}$ en mon\'otona decreciente. \\

Se definen los \underline{l\'{\i}mites superior e inferior} de la sucesi\'on $\{x_n \}$ por 
\[
               \text{lim sup\,} x_n =\text{lim\,} b_n \qquad  \text{lim inf\,} x_n =\text{lim\,} a_n
\]
respectivamente. (Estos l\'{\i}mites pueden ser finitos \'o bien pueden diverger a $^+_- \infty$  seg\'un si la sucesi\'on $\{x_n \}$ es acotada superiormente y/o  inferiormente ).\\
\noindent b) Probar que lim sup $x_n$ y lim inf $x_n$ son el mayor y el menor de los puntos de acumulaci\'on de la sucesi\'on $\{ x_n \}$ respectivamente. Deducir que la sucesi\'on $\{ x_n \}$  converge  a $l$ si y solo si $l=$ lim inf $x_n=$ lim sup $x_n$.

\noindent Probar que  estos limites tienen las propiedades siguientes:\\
\noindent b) lim sup $(-x_n)=-$lim inf $x_n$.\\
\noindent c) lim inf $x_n \leq$  lim sup $x_n$.\\

\item a) Sea $F \subset \mathbb{R}^n$ un subconjunto cerrado y sea $x \not\in F$. probar que existe un n\'umero $d>0$ con la propiedad que $| x-y | \geq d$ para todo $y \in F$.\\ 
\noindent b) Si $F$ es un cerrado y $K$ es un compacto tales que $F \cap K = \emptyset $ probar que existe un n\'umero $d>0$ tal que $|x-y| \geq d$ para todo $x \in F$ y para todo $y \in K$. 

\item Dada $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ cont\'{\i}nua y $K \subset \mathbb{R}^n$ un subconjunto compacto, probar que $f(K)$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^m$.

\item Sea $\{ x_n \}$ una sucesi\'on de Cauchy en $\mathbb{R}^m$. Probar que si $a$ es un punto de acumulaci\'on de $\{ x_n \}$, entonces $x_n \to a$.





\end{enumerate}



\end{document}

