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\begin{document}

\newcommand{\dst}{\displaystyle}
\newcommand{\Real}{\mbox{Re}}
\newcommand{\Imag}{\mbox{Im}}

\begin{center}
AN\'ALISIS MATEM\'ATICO 4 -- Pr\'actico nro. 4
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Probar que si $S$ y $T$ son transformaciones de M\"obius, entonces $S \circ T$ y $S^{-1}$ son transformaciones de M\"obius.

\item Sean $\dst{S(z) = {az + b \over cz+d}}$ y $\dst{T(z) = {a'z + b' \over c'z + d'}}$.

 Probar que $S = T$ si y s\'olo si existe $\lambda \in {\bf C}$ tal que $a' = \lambda a$, $b' = \lambda b$, $c' = \lambda c$ y $d' = \lambda d$.

\item Probar que  $\dst{T(z) = {az + b \over cz+d}}$ mapea ${\bf R} \cup \{\infty\}$ sobre ${\bf R} \cup \{\infty\}$ si y s\'olo si se pueden elegir $a$, $b$, $c$ y $d$ reales.

\item Hallar la transformaci\'on de M\"obius que transforma los puntos 2, $i$ y (-2) en 1, $i$ y (-1) respectivamente.

\item Hallar la homograf\'\i a que transforma los puntos $\infty$, $i$ y 0 en los puntos 0, $i$ y $\infty$, respectivamente.

\item Encontrar la transformaci\'on de M\"obius que lleva $1$, $i$ y $-i$ respectivamente en $-1$, $i$ y $-i$. >En qu\'e regi\'on se transforma el interior del c\'\i rculo unitario del plano complejo?

\item >Cu\'al es el efecto de una rotaci\'on $w = e^{i \theta}$ y de la inversi\'on $w = 1/z$ sobre la esfera de Riemann?

\item Escriba la transformaci\'on $T(z) = \dst{{z-1 \over z+1}}$ como composici\'on de traslaciones, rotaciones, dilataciones e inversiones, y use esto para analizar la imagen del semiplano $\mbox{Re}(z) > 0$.\label{ejerc}

\item Idem al ejercicio (\ref{ejerc}) para $T(z) = \dst{{i-z \over i+z}}$ y el semiplano $\Imag(z) > 0$.

\item Hallar los puntos fijos de la transformaci\'on:

a) $\dst{T(z) = {z-1 \over z+1}}$ \qquad b) $\dst{S(z) = {6z-9 \over z}}$

\item Encontrar la transformaci\'on de M\"obius m\'as general $w= \dst{{az+b \over cz +d}}$ que tiene como puntos fijos a $z = \pm 1$.

\newpage

\item Hallar todas las transformaciones de M\"obius $T$ tales que:

\begin{enumerate}
\item $T$ transforma el semiplano $\mbox{Im}(z) > 0$ en el disco $D = \{ |z| < 1 \}$,
\item $T$ transforma la circunferencia $ \{|z| = 1\}$ en s\'\i\ misma,
\item $T (D) = D$.
\end{enumerate}

\item Hallar la imagen por $1/z$ de la intersecci\'on de los c\'\i rculos $|z - 1| < 1 $ y $|z + i| < 1$.

\item Pruebe que la funci\'on $T(z) = \dst{{z \over 1-z}}$ mapea el c\'\i rculo unitario $|z|<1$ sobre el semiplano $\Real(z) > -1/2$.

\item Hallar una transformaci\'on de M\"obius que mapee el c\'\i rculo $|z-i|=1$ en el semiplano $\mbox{Im}(z) > \mbox{Re}(z)$.

\item Hallar la imagen de la banda $0 \le \Real(z) \le \pi/2$, $\Imag(z)>0$ por la funci\'on: $\dst{f(z) = {1-\cos z \over 1 + \cos z}}$.

\item Hallar la imagen de la banda semiinfinita $|\Imag(z) < \pi|$, $\Real(z) > 0$ por la funci\'on $f(z) = \dst{{e^z+1 \over e^z -1}}$.

\item Hallar una funci\'on anal\'\i tica que mapee inyectivamente el primer cua\-dran\-te \underline{sobre} la banda semiinfinita $\Real(z) < 0$, $0 < \Imag(z) < \pi$.

\end{enumerate}

\end{document}

