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\begin{document}

\begin{center} AN\'ALISIS MATEM\'ATICO IV --Pr\'actico nro. 5 \end{center}

\newcommand {\dst}{\displaystyle}
\newcommand {\Log}{\mbox{Log}}

\hyphenation{se-mi-dis-co}
\begin{enumerate}

\item Calcular las siguientes integrales:

a) $\dst{\int_0^1 (1+it^2)\, dt}$ \qquad b) $\dst{ \int_0^\infty e^{-zt}\, dt}$

\item Probar que si $m$ y $n$ son enteros, entonces
$$\int_0 ^{2\pi} e^{im\theta}e^{-in\theta} \, d\theta= \left\{ \begin{array}{ll}
0 & \mbox{para } m \neq n, \\ 2\pi & \mbox{para } m = n \end{array} \right.$$

\item Suponer que $f(z)$ es anal\'\i tica en un punto $z_0 = z(t_0)$ de un arco diferenciable 
$z = z(t)$, ($a \le t \le b$). Probar que si $w(t) = f(z(t))$ entonces en $t = t_0$ se cumple 
que $$w'(t) = f'(z(t)) z'(t).$$

\item \begin{enumerate}
\item
Calcular $\int_C \cos z \, dz$ donde $C$ es la poligonal obtenida conectando en ese orden los 
puntos $z= {\pi \over 2}$, $z= {\pi \over 2} + i $, $z = -{\pi \over 2} + i$, $z = -{\pi 
\over 2}$.
\item Calcular $\oint_{|z|=1} \overline{z}\, dz$, con la integral orientada positivamente.
\end{enumerate}

\item Hallar la integral $$\int_{|z|=1} z^{-1+i}\, dz,$$ donde el integrando usa la 
determinaci\'on $0 < \arg z < 2\pi$.

\item Sea $X(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$ un campo de clase $C^1$ en una regi\'on $D$
del plano, y sea $C(t)=(x(t),y(t))$  un contorno simple cerrado en $D$
definido en el intervalo $[a,b]$ y recorrido en sentido antihorario. Se
definen la \sl circulaci\'on \rm   y el
\sl flujo \rm  de $X$ a lo largo de $C$ mediante 
$$ \mbox{Circ\,}(X,C)=\int_a^b \langle X(t),\dot C(t)\rangle\,dt \qquad
 \mbox{Flujo\,}(X,C)=\int_a^b\det\,\big(X(t),\dot C(t)\big)\,dt$$
Si $f=u-iv$, mostrar que 
$
\dst{\int_C f(z)\,dz=
\mbox{Circ\,}(X,C)+ i\,\mbox{Flujo\,}(X,C)
}$


\item Sin calcular la integral, comprobar las siguientes acotaciones:
\begin{enumerate}
\item Si $C$ es el arco de c\'\i rculo $|z| = 2$ de $z = 2$ a $z = 2i$ en el
primer cuadrante, 
$$
\bigl| \dst{\int_C \frac{dz}{z^2 + 1}} \bigr| \le \frac{\pi}3
$$
\item Si $C$ es la frontera del tri\'angulo con v\'ertices en $z=0$, $z=3i$ y $z=-4$,   
$$\left| \int_C (e^z - \overline{z})dz\right| \le 60$$
\end{enumerate}

\item Pruebe que $$\int_{C_0} (z-z_0)^{n-1} dz = 0\qquad (n \neq 0)$$
cuando $C_0$ es cualquier contorno cerrado que no pasa por el punto $z_0$.

\item Sea $p(z)$ un polinomio de grado $n$ y sea $R$ suficientemente grande para que $p$ no 
se anule en $\{z \mid |z| \ge R\}$. Si $\gamma(t) = Re^{it}$, $0 \le t \le 2\pi$, muestre que 
$\dst{\int_\gamma {p'(z) \over p(z)}dz = 2\pi i n}$.
\item Hallar el dominio de analiticidad de la funci\'on $f$, y aplicar el
teorema de Cauchy-Goursat para probar que $\int_C f(z)\, dz = 0$ cuando el
contorno simple cerrado $C$ es c\'\i rculo $|z| = 1$.

 a) $f(z) = \dst{{z^2\over z-3}}$ \qquad 
b) $f(z) = \dst{ {1 \over \cosh z}}$ \qquad
c) $f(z) = \Log(z+2)$

 
\item  Sean $C$ y $C_0$ dos contornos simples cerrados, orientados
positivamente, siendo $C_0$ interior a $C$. Demostrar que si $f$ es anal\'\i
tica en la regi\'on comprendida entre $C$ y $C_0$, entonces
$$\int_Cf(z)\, dz = \int_{C_0} f(z) \, dz$$

 Teniendo en cuenta 
el valor de la integral de $(z-z_0)^{n-1}$, $n$ entero,
sobre un c\'\i rculo $|z-z_0| = R$ tomado en sentido positivo, calcular la
integral
$\int_C(z-2-i)^{n-1} \,dz$ 
cuando $C$ es la frontera del rect\'angulo $0 \le x \le
3$, $0 \le y \le 2$, tomada en sentido positivo, y $n$ es un n\'umero entero.
Observar que el caso $n=0$ es especial.

 
\item Calcular cada una de las siguientes integrales en las que el camino
es un contorno arbitrario entre los l\'\i mites de integraci\'on:

a) $\dst{\int_1^3(z-2)^3 \, dz}$ \qquad b$\dst{\int_0^{\pi + 2i} \cos
(z/2) dz}
\qquad$ c) $\dst{\int_i^{i/2} e^{\pi z} dz}$

\item Denotemos por $C$ toda la frontera, con orientaci\'on positiva, del
semidisco $0 \le r \le 1$,
 $0 \le \theta \le \pi$ y sea $f(z)$ una
funci\'on continua definida en ese semidisco, dada por $f(0) = 0$ con la
determinaci\'on:
$$
f(z) = z^{1/2}= \sqrt r e^{i\theta/2} 
\qquad (r>0, \ -\frac \pi 2 < \theta <\frac{3 \pi}2)
$$ 
de la funci\'on multivaluada $z^{1/2}$. Probar que
$\int_C f(z) \, dz = 0$ >Es aplicable aqu\'\i\ el teorema de Cauchy-Goursat?

\item Use la f\'ormula de Cauchy para calcular las siguientes integrales, donde $C$ es la 
curva $\{Re^{i\theta} \mid 0 \le \theta \le \pi\} \cup [-R,R]\}$ orientada positivamente y $R > \max\{b,1\}$.

a) $\dst{\int_C {dt \over t^2 + t + 1}}$ \qquad \qquad
b) $\dst{\int_C {e^{it}\over(t^2 + a^2)(t^2 + b^2)}dt}$, $0 < a < b$

\item Denotemos por $C$ la frontera del cuadrado cuyos lados est\'an sobre
las rectas $x=\pm 2$ e $y = \pm 2$ donde $C$ se recorre en sentido positivo.
Calcular las siguientes integrales usando la f\'ormula integral de Cauchy
para una funci\'on o sus derivadas.

a) $\dst{\int_C {e^{-z}dz \over z-(\pi i/2)}} $\qquad
b) $\dst{\int_{C} {z\, dz \over 2z+1}}$ \qquad
c) $\dst{\int_C  {\cosh z \over z^4} \, dz}$


\item Sea $f(z)$ una funci\'on entera tal que $|f(z)| \le M |z|^k$, para todo $z \in {\bf 
C}$. Probar que $f(z)$ es un polinomio de grado menor o igual que $k$.

\item Sea $f$ continua en una regi\'on cerrada y acotada $R$, siendo anal\'\i tica y no 
constante en el interior.Suponiendo que $f(z) \neq 0$ en todo $R$, demostrar que $|f(z)|$ 
tiene un m\'\i nimo y se alcanza en la frontera de $R$, y nunca en el interior.

Encuentre un ejemplo donde se demuestre que la hip\'otesis $f(z) \neq 0$ es necesaria.

\item Considere $f(z) = (z+1)^2$ y la regi\'on triangular cerrada $R$ con v\'ertices en 
$z=0$, $z=2$ y $z=i$. Hallar los puntos de $R$ donde $|f(z)|$ alcanza su m\'aximo y su m\'\i 
nimo.

\item Suponga que $f$ es entera y que $u(x,y) = \mbox{Re}(z)$ est\'a acotada superiormente. 
Pruebe entonces que $f$ es constante.

\noindent
{\it Ayuda}: componga con la funci\'on $\exp(z)$.

\item Si $f(z)$ es anal\'\i tica en $|z|<R$ y $f(0)=0$, probar que existe un n\'umero $R_1 < 
R$ tal que $f(z) \neq 0$ en $0 < |z| < R_1$.

 


\end{enumerate}
\end{document}