\documentstyle[11pt]{article}

\begin{document}

\begin{center}
AN\'ALISIS MATEM\'ATICO IV -- Pr\'actico nro. 6
\end{center}

\newcommand {\sen}{\mbox{sen}}
\newcommand {\senh}{\mbox{senh}}
\newcommand {\dst}{\displaystyle}
\newcommand {\Log}{\mbox{Log}}
 
\hyphenation{de-sa-rro-llo}
\hyphenation{de-sa-rro-llos}

\begin{enumerate}



\item Dada una serie de potencias
$$\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n$$
probar que si $\lim_{n \to \infty} \dst{\bigl| {a_n \over a_{n+1}} \bigr| }$ existe y es finito o bien $\infty$ entonces es igual al radio de convergencia de la serie.

\noindent {\it Ayuda: Aplique el criterio del cociente.}

\item Hallar la regi\'on de convergencia de las siguientes series de potencias:

a) $\dst{\sum_{n=1}^\infty(-1)^n {z^n \over n!}}$ \qquad \qquad
b) $\dst{\sum_{n=0}^\infty a^{n^2},\ a \in {\bf C}}$ 

c) $\dst{\sum_{n=0}^\infty  (1-{1\over n})^{n^2}z^n}$ \qquad \qquad
d) $\dst{\sum_{n=0}^\infty \sen (n{\pi \over 2}) z^n}$


\item Pruebe que el radio de convergencia de la serie de potencias $$\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n \over n} z^{n(n+1)}$$ es 1, y analice la convergencia para $z=1$, $-1$ e $i$. ({\it Atenci\'on: el $n$-\'esimo coeficiente de la serie no es ${(-1)^n \over n}$}.
\item a) Sea $f_n(x) = x^{{1 \over 2n+1}}$ para $x \in [-1,1]$. Mostrar que $f_n$ converge puntualmente a cierta funci\'on pero no uniformemente. >Qu\'e sucede si $x \in (0,1)$?

\item Demostrar que la serie siguiente no es uniformemente convergente para $|z|<1$:
$$1 + z + z^2 + z^3 + \dots = {1 \over 1-z}$$

\item Pruebe que la serie $$\sum_{n=0}^\infty z e^{-nz}$$ converge absolutamente pero no uniformemente en el sector $|z|  \le R$, $|\arg z| \le \delta$, cuando $0 < \delta < \pi/2$. >Es la convergencia uniforme cuando $r \le |z| \le R$, $|\arg z| \le \delta$?


 \item Hallar por definici\'on el desarrollo en serie de Taylor de las siguientes funciones en los puntos indicados, y determine el radio de convergencia de la serie.

a) $\dst{{1 \over z^2}}$ \quad en  $z_0 = -1$, \qquad \qquad\qquad
b) $f(z) = e^z$, \quad en  $z_0 = 0$ 

c) $f(z) = \sqrt z $ \quad en $z_0 = -1$ \qquad \qquad
d) $f(z) = \log z$ \quad en $z_0 = i$



\item Hallar la serie de Taylor o de Laurent de las siguientes funciones en el punto $a$ indicado. Indicar adem\'as la regi\'on de convergencia.

a) $\dst{{1 \over 4-3z}}, \ a=0$ \qquad\qquad
b) $\dst{{1 \over 2z-i}}, \ a=-1$

 c) $\dst{{\cos(z^2) \over z^4}},\ a=0$ \qquad\qquad
d) $\dst{e^{z^2-z}},\ a=0$

\item Encontrar el dominio de convergencia de la serie 
$$f(z) = 1 + {z \over 1+z} + ( {z \over 1+z})^2 + ({z \over 1+z})^3 + \dots $$
>Cu\'al  es el valor de $f(z)$ en ese dominio?

\item Derivar o integrar t\'ermino a t\'ermino una serie conocida para obtener los desarrollos en serie de las siguientes funciones en $z_0 = 0$:

a) $\dst{ {1 \over (1-z)^2}} $\qquad \qquad
b) $\dst{ -z\cos(z) + \sen(z)}$

c) $\dst{ 2ze^{z^2 -1}}$ \qquad\qquad
d) $\dst{ (z+1)^{3/2}}$


\item Integrar la serie de Maclaurin para $1/(1+s)$ a lo largo de un contorno interior al c\'\i rculo de convergencia, de $s=0$ a $s=z$, para obtener la representaci\'on siguiente:
$$\mbox{Log}(z+1) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {z^n \over n}$$

\item Pruebe que la funci\'on 
$$f(z) = 1 + \sum_{n=1}^\infty {a (a-1)\dots (a-n+1) \over n!} z^n$$
es anal\'\i tica cuando $|z|<1$ y que su derivada es $a f(z) / (1+z)$. Con esto demuestre que la derivada de $(1+z)^{-a} f(z)$  es cero, y deduzca que 
$$f(z) = (1+z)^a.$$
(Nota: $(1+z)^a = \exp(a \Log (1+z)$.)

\item a) Desarrollar $\senh(z)$ en potencias de $z-\pi i$ para probar que 
$$\lim_{z \to \pi i} {\senh(z) \over z-\pi i} = -1$$

b) Probar que si $f(z) = z^{-1}\mbox{Log}(z+1)$ cuando $z \neq 0$ y $f(0) = 1$, entoces $f$ es anal\'\i tica en el dominio $\{ |z|<1 \}$.

\item Dar los desarrollos en serie de Laurent de cada una de las siguientes funciones en los anillos que se indican:

\begin{eqnarray*}
q(z) &=& {z \over (z-1)(z-2)} \mbox{ en }
\left\{ \begin{array}{l} |z|<1 \\ 0 < |z-2| < 1 
         \end{array} \right. \\
f(z) &=& {1\over z^2(1-z)} \mbox{ en }
\left\{ \begin{array}{l} 0 < |z| < 1\\ 1<|z|<\infty
                       \end{array} \right. \\
g(z)&=& {1 \over z(1+z^2)}  \mbox{ en }
\left\{ \begin{array}{l} 0 < |z-i| < 1\\ 1<|z-i|<2\\ 2 < |z-i| < \infty
                       \end{array} \right.
\end{eqnarray*}

\item Encontrar el desarrollo de Laurent para:
$$f(z) = { 1 \over (2z+1)(z-1)} \mbox{ v\'alida en } 1/2 < |z| < 1$$
y tambi\'en para la misma funci\'on en el anillo $0 < |z + 1/2| < 3/2$.

>En d\'onde son v\'alidas simult\'anteamente las dos series?

\item Hallar los cuatro primeros t\'erminos distintos de cero de las series de Laurent de las funciones:

a) $g(z) = e^z \cos z $ alrededor de $z_0 = 0$,

b) $f(z) = \tan (\pi z)$ alrededor de $z_0 = 1/2$, en $0< |z-1/2| < 1$.


\end{enumerate}
\end{document}


