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\begin{center}
AN\'ALISIS MATEM\'ATICO IV -- Pr\'actico nro. 7
\end{center}

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\newcommand {\senh}{\mbox{senh}}
\newcommand {\dst}{\displaystyle}
\newcommand {\Log}{\mbox{Log}}
 
\hyphenation{de-sa-rro-llo}

\begin{enumerate}

\item Escribir la parte principal de las siguientes funciones en cada una de sus singularidades aisladas. Determine qu\'e tipo de singularidad es.

a) $\dst{{\sen z \over z^2(z-\pi)}}$ \qquad \qquad
b) $z \exp({1 \over z})$ \qquad \qquad
c) $z^2 \over 1+z$

\item
Demostrar que las singularidades de las funciones siguientes son polos. Determinar su orden y los correspondientes residuos:

a) $\dst{{1 - \cosh z \over z^3}}$ \qquad \qquad
b) $\tanh z$ \qquad\qquad
c) $\dst{{z \over \cos z}}$

\item Hallar el residuo en $z=0$ de $\dst{e^{z + {1\over z}}}$.

\item Si $C$ es el c\'\i rculo unitario tomado en sentido positivo, evaluar las siguientes integrales:

a) $\dst{ \int_C {dz \over \sen z}}$ \qquad \qquad
b) $\dst{ \int_C e^{1/z} {dz \over z}}$ \qquad \qquad
c) $\dst{\int_C{e^{-z} \over z (z+2)}dz}$

\item Evaluar la integral
$$\int_C {2z^2 + 5 \over (z+1)(z^2 + 1)^2} dz$$
en donde $C$ es el c\'\i rculo $|z+i| = 1$.

\item Sea $f$ una funci\'on meromorfa en un dominio $G$. Sea $\Gamma$ una curva \underbar {simple} cerrada en $G$ que no pasa por ning\'un cero ni polo de $f$. Probar que
$${1 \over 2\pi i} \int_{\Gamma} {f'(z)\over f(z)}dz = Z_f - P_f$$
donde $Z_f$ ($P_f$ respectivamente) es el n\'umero de ceros (polos respectivamente) de $f$  encerrados por $\Gamma$.

\item Probar las f\'ormulas siguientes:

 a) $\dst
{\int_0^\infty {x^2 \, dx \over (x^2+1)(x^2+4)} = {\pi \over 6}}$

b) $\dst{\int_0^\infty {\cos x \,
dx \over (x^2+a^2)(x^2+b^2)}= {\pi \over
a^2-b^2}\bigl({e^{-b} \over b}-{e^{-a} \over a}\bigr)\quad (a>b>0)}$

\item

Usar el contorno de la figura para probar que 

$\dst{\int_0^\infty {dx \over x^n + 1} = {\pi \over n\sen(\pi/n)}}$

\item Calcular las siguientes integrales:

a) $\dst{ \int_0^\infty {\cos x - 1 \over x^2}dx}$ \qquad \qquad
b) $\dst{\int_0^\infty {(\log x)^3 \over 1+x^2}dx }$


 \item
Probar que:

a) $\dst{ \int_0^{2\pi} {d\theta \over 5 + 4\sen \theta} = {2\pi \over 3}}$ 

 b) $\dst{\int_0^\pi {\cos(2 \theta) \,d\theta \over 1-2a \cos \theta + a^2} = {\pi a^2 \over 1-a^2} }$

c) $\dst{\int_0^\pi (\sen \theta)^{2n} d\theta = {(2n)! \over 2^{2n}(n!)^2}}$ \qquad \qquad

d) $\dst{\int_{-\infty}^{\infty} {e^{ax}\over 1 + e^x}dx = {\pi \over \sen a\pi}}$ si $0 < a < \pi$.

\item (*) Sea $\gamma$ el camino rectangular $[n+{1\over 2} + ni, -n-{1\over 2} + ni, -n -{1\over 2} - ni, n+{1\over 2} - ni,n+{1\over 2} + ni]$ y eval\'ue la integral
$$\int_\gamma {\pi \cot(\pi z) \over (z+a)^2}dz$$
para $a$ no entero. Muestre que $\lim_{n\to \infty} \pi(z+a)^{-2} \cot (\pi z)\, dz = 0$ y deduzca que
$${\pi^2 \over \sen^2(\pi a)} = \sum_{n=-\infty}^\infty {1 \over (a+n)^2}.$$

{\it Ayuda: } Use el hecho que para $z=x+iy$, $|\cos z|^2 = \cos^2 x + \senh^ y$ y $|\sen z|^2 = \sen^2 x+ \senh^2 y$ para mostrar que $|\cot \pi z| \le 2$ para $z$ sobre $\gamma$ si $n$ es suficientemente grande.)

\end{enumerate}
\end{document}