Resúmentes

Sapo

Representaciones de Galois por Luis Dieulefait, Ariel Pacetti y Fernando Rodriguez-Villegas.

  1. El grupo de Galois absoluto.
  2. Cuerpos locales: grupo de descomposición e inercia, automorfismo de Frobrenius.
  3. Representaciónes de Galois de un cuerpo de números: complejas, p-ádicas y módulo p.
  4. Representaciones de Galois asociadas a curvas elípticas.
  5. Representaciones de Galois asociadas a formas modulares.
  6. Deformaciones de representaciones de Galois.

Primos, paridad y análisis por Harald Helfgott y Adrian Ubis.

En general, es nuestra intuicion que los enteros deben tener un numero par o impar de divisores de primos con la misma frecuencia - aun en intervalos cortos. Hay resultados clasicos en esta direccion, pero, hasta hace poco, se sabia poco o nada para intervalos muy cortos. Ha habido una sucesion de logros recientes, iniciados por el trabajo de Matomaki-Radziwill sobre lo que sucede para un intervalo muy corto tomado al azar. En particular, discutiremos el trabajo de Tao sobre una variante debil de la conjetura de Chowla. Prerequisito: (memorias de) un curso introductorio a la teoria analitica de numeros, incluyendo el teorema de los numeros primos.


Grupos aritméticos por Mikhail Belolipetsky, Ben Linowitz y Roberto Miatello.

Comenzaremos dando una introducción a los grupos algebraicos sobre Q y sus subgrupos discretos, dando una descripción de los conjuntos de Siegel y la teoría de reducción (con su relación a la teoría de reducción de formas cuadráticas). Enunciaremos y daremos ideas de los resultados fundamentales del área, como el Teorema de Borel-Harish-Chandra, el criterio de compacidad de Godement y el Teorema de densidad de Borel. Si el tiempo lo permite, planeamos discutir covolúmenes de subgrupos aritméticos y masas de retículos cuadráticos.


Sapo

Equidistribución de puntos de altura pequeña, por José Ignacio Burgos Gil y Ricardo Menares.

  1. Valuacions, extensiones, altura de Weil en P^1. Experimentos computacionales.
  2. Teorema de Bilu en P^1.
  3. El caso de P^n: altura de Weil, teorema de Bilu y la propiedad de Bogomolov (pantallazo).
  4. Alturas generales y elementos de teoría potencial.
  5. Equidistribución a traves de teoría potencial, la versión de Rumely del teorema de Fekete-Szego’s (ideas).
  6. Si el tiempo lo permite, veremos alturas tóricas, equidistribución y contraejemplos de equidistribución.

Curvas sobre cuerpos finitos, por Cicero Fernandes de Carvalho, Daniel Panario y Miriam Abdon.

Luego de recordar la teoría de cuerpos finitos necesaria para el curso, veremos curvas (proyectivas, no-singulares, geométricamente irreducibles) definidas sobre cuerpos finitos que obtienen un número máximo de puntos racionales (predicho por el teorema de Hasse-Weil). Veremos construcciónes de códigos usando curvas suaves algebraicas y la cota de Goppa para la distancia mínima de dichos códigos.


Variedades abelianas, una introducción, por Marc Hindry, David Roberts y Marusia Rebolledo.
Presentaremos las bases de la teoría de variedades abelianas (grupos algebraicos proyectivos conexos), que son la generalización en dimensión superior de las curvas elípticas.

  1. Variedades abelianas complejas: Formas de Riemann, momorfismos, espacio de Siegel
  2. Geometría de variedades abelianas: Fibrados de línea, polarización, representación de Galois, jacobianas
  3. Aritmetica de variedades abelianas: Buena y mala reducción, alturas de Néron-Tate, teorema de Mordell-Weil