Justificación teórica de la simulación

Tarea: En base a la Teoría de la Probabilidad elaborar un argumento que explique porqué el método de arrojar la aguja funciona para estimar el valor de $\pi$.

En la siguiente figura se representa la situación en la cual la aguja presenta el máximo ángulo ($\theta_m$) posible para que exista intersección, dada una distancia $r$ desde el centro de la aguja al renglón.

Tenemos entonces la relación $\cos \theta_m = 2r$ ($0 < r < 1/2$). El area encerrada bajo la curva definida por la función $\theta_m(r)$ resulta entonces:

$$\int_0^{1/2} \,dr \int_0^{\theta_m} \, d\theta = \int_0^{1... ...ta_m(r) \,dr = \frac{1}{2} \int_0^1 \mbox{arc} \cos x \,dx =$$

$$\frac{1}{2} \left[ x \,\mbox{arc} \cos x - \sqrt{1 - x^2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$$

Tenemos entonces que en el plano $(r, \theta)$ se sortean uniformemente los puntos del rectángulo descripto en la siguiente figura cuya area es $2 \pi$. Por otro lado las areas encerradas por las curvas de ángulo máximo y las verticales en $r=0$ y $r=2$, y que corresponden a las situaciones de intersección, suman $2$. Por lo tanto la probabilidad de intersección resulta $1/\pi$.