Centro de Investigación y Estudios de Matemática
Defensas de tesis 2017
  Actividades

"Álgebras de Hopf y Categorías de Fusión”

Lic. Melisa Gisselle Escañuela González

Directora: Dra. Sonia Natale

Resumen: La tesis trata sobre las reglas de fusión y la resolubilidad de una categoría de fusión.
Una categoría de fusión sobre k es una categoría tensorial semisimple con un número finito de clases de isomorfismo de objetos simples. Un invariante de este tipo de categorías está dado por su anillo de Grothendieck, o equivalentemente sus reglas de fusión.
En la primer parte de esta tesis se aborda el interrogante de si la condición de que una categoría de fusión sea o no resoluble está determinada por sus reglas de fusión, en base a las nociones de resolubilidad y nilpotencia introducidas por P. Etingof, D. Nikshych y V. Ostrik.
Dos categorías de fusión se dicen Grothendieck equivalentes si existe entre ellas una equivalencia de Grothendieck. Por definición de nilpotencia si dos categorías de fusión son Grothendieck equivalentes, una es nilpotente si y sólo si la otra lo es.
Probamos que la respuesta es afirmativa para algunas familias de ejemplos no resolubles que surgen de representaciones de álgebras de Hopf semisimples asociadas a factorizaciones exactas de los grupos simétrico y alternante.
La segunda parte está dedicada al caso de las categorías de fusión esféricas. En este contexto también consideramos el invariante provisto por la S-matriz del centro de Drinfeld. Mostramos que este invariante sí determina la resolubilidad de una categoría de fusión siempre que ésta sea de tipo grupo.
Córdoba, 16 de marzo de 2017.


Deformaciones de álgebras de Lie nilpotentes flliformes

Lic. Sonia Vanesa Vera

Director: Dr. Paulo Tirao

Resumen: Michel Vergne  inició el estudio de la geometría de la variedad algebraica de todas las álgebras o corchetes de Lie nilpotentes mostrando el rol distintivo de las álgebras de Lie nilpotentes filiformes, aquellas de nilíndice máximo.
Un concepto fundamental en este marco, es el de rigidez.
Un corchete de Lie mu se dice rígido si todos los corchetes de Lie en algún entorno de mu  son isomorfos a mu.
La tesis está motivada por el problema conocido como Conjetura de Vergne, abierto desde 1970, que afirma que no existen álgebras de Lie nilpotentes rígidas y sobre el que se sabe muy poco al día de hoy.
Una deformación lineal de un corchete de Lie mu es una familia de corchetes de Lie mu_t con t un número complejo, de la forma mu_t = mu + t.D donde D es un 2-cociclo de mu y un álgebra de Lie.
Si para todo t pequeño mu_t no es isomorfo a mu , entonces la deformación es no trivial y mu no es rígido.
En la tesis abordamos el problema de rigidez de álgebra filiformes complejas.
En primer lugar presentamos un método general para construir deformaciones lineales de álgebras de Lie, que se adapta muy bien y resulta efectivo en el caso de álgebras filiformes.
Usando este método construimos deformaciones lineales para cualquier filiforme.
Para dimensiones menores e iguales a 11, en las que es posible describir las variedades de filiformes de manera accesible, mostramos que las deformaciones construidas son no triviales en un abierto denso, para luego deducir el resultado principal de la tesis: "No existen álgebras de Lie filiformes rígidas en dimensiones menores e iguales a 11".
Córdoba, 29 de marzo de 2017.


“Estructuras localmente conformes Kähler y localmente conformes simplécticas en solvariedades compactas“

Lic. Marcos Miguel Origlia

Director: Dr. Adrián Andrada

Resumen: En esta tesis consideramos la clase de variedades localmente conformes Kähler (LCK), que son variedades hermitianas tales que en cada punto existe un entorno donde la métrica es conforme a una métrica de Kähler. Equivalentemente, (M, J, g) es LCK si y solamente si existe una 1-forma cerrada θ tal que dω=θ ∧ ω, donde ω es la 2-forma fundamental determinada por la estructura hermitiana (J, g). En este caso la 1-forma θ se llama la forma de Lee. Estas variedades fueron muy estudiadas por I. Vaisman en los ’70s y luego por muchos otros autores hasta la actualidad. Una clase particular de variedades LCK está formada por las llamadas variedades de Vaisman, que son variedades LCK donde la forma de Lee es paralela con respecto a la conexión de Levi-Civita. Por otro lado, se puede generalizar la noción de una estructura LCK a la de una estructura localmente conforme simpléctica (LCS), esto es, un par (ω, θ) tal que dω = θ ∧ ω, donde ω es una 2-forma no degenerada y θ es una 1-forma cerrada. El estudio de estas estructuras ha cobrado mucho interés recientemente.
En esta tesis estudiamos las estructuras LCK y LCS invariantes a izquierda en grupos de Lie solubles, o equivalentemente, tales estructuras en el álgebra de Lie correspondiente. La idea principal de este trabajo es encontrar nuevos ejemplos de variedades compactas que admitan dichas estructuras, para ello se comienza estudiando su existencia a nivel del álgebra de Lie, y luego se buscan retículos (subgrupos discretos co-compactos) en los grupos de Lie simplemente conexos asociados a dichas álgebras. De esta manera las estructuras geométricas invariantes a izquierda en el grupo de Lie G determinan estructuras LCK o LCS invariantes en las solvariedades Γ\G. Específicamente, en primer lugar estudiamos las estructuras LCK invariantes en solvariedades donde la estructura compleja es abeliana, probando que dicha solvariedad es un cociente de un grupo de Heisenberg multiplicado por S^1. Luego determinamos los grupos de Lie casi abelianos que admiten tales estructuras y posteriormente analizamos la existencia de retículos en ellos. También describimos explícitamente la estructura de las álgebras de Lie con estructuras de Vaisman en términos de álgebras de Lie Kähler planas y analizamos la existencia de retículos en algunos grupos de Lie asociados. Finalmente desarrollamos un método de construcción de estructuras LCK y LCS invariantes en un grupo de Lie a partir de un álgebra de Lie que ya admite tales estructuras y de una representación compatible.
Córdoba, 30 de marzo de 2017.


Subálgebras del álgebra de Lie de operadores de pseudo – diferenciales matriciales cuánticos y representaciones de módulos de peso máximo cuasifinitos de subálgebras de tipo 'ortogonal' y 'simpléctico'

Lic. Karina Haydee Batistelli

Director: Dr. Carina Boyallian

Resumen: En esta tesis caracterizamos los m\'odulos irreducibles de peso máximo cuasifinitos de las subalgebras del álgebra de Lie de operadores pseudo-diferenciales matriciales cuánticos N x N.
En la primer parte, se presentan los resultados que hemos obtenido, donde se da una descripci\'on completa de las anti-involuciones que preservan la graduación principal. Obtenemos, salvo conjugación, dos familias de anti-involuciones para un cierto parámetro $n$ con resultados diferentes cuando $n=N$ y $n<N$. Con el objetivo de exponer sus diferencias en detalle, estos casos son estudiados de forma separada. Cuando $n=N$ se obtienen dos familias de subálgebras de Lie fijas por menos la anti-involución. Damos además una realización geométrica de ellas, concluyendo que una de las familias es una sub\'algebra de Lie de tipo ``ortogonal'' y la otra es una sub\'algebra de Lie de tipo ``simplectica''. Por otro lado, cuando $n<N$, se hallan dos familias de subalgebras fijas por menos la anti-involución. Por medio de una realización geométrica concluimos que una de las familias obtenidas es una sub\'algebra de Lie de tipo ``ortogonal'' y la otra es una sub\'algebra de Lie de tipo "ortosimpléctica''.
En la segunda parte, nos focalizamos en el estudio de las sub\'algebras de tipo ``ortogonal'' y ``simpléctica'' halladas para el caso $n=N$, puntualmente la clasificación y realización de los módulos irreducibles de peso máximo cuasifinitos.
Córdoba, 31 de marzo de 2017.