Radiación de cuerpo negro

Cuando se calienta un objeto sólido, emite “radiación térmica”. A medida que se eleva la temperatura, el objeto se torna rojo, luego, amarillo y después, blanco. Esta radiación térmica se emite en una distribución continua de frecuencias, desde el infrarrojo al ultravioleta.

Complementariamente, cuando se ilumina un objeto, algo de luz se absorbe y algo se refleja. Un “cuerpo negro” ideal absorbe toda la radiación que le llega: se lo ve negro al iluminarlo. Cuando se lo calienta, emite energía electromagnética producto de la agitación térmica de los electrones de la superficie. La intensidad de esa radiación depende de su frecuencia y de la temperatura. Si este objeto está en equilibrio térmico con el entorno, irradia tanta energía como la que absorbe. O sea: un cuerpo negro es un “absorbedor” perfecto y también un emisor perfecto de radiación.

En la práctica, un cuerpo negro es una cavidad hueca cuyas paredes internas reflejan perfectamente la radiación electromagnética (por ejemplo, paredes metálicas), con un pequeño hueco en la superficie. La radiación que entra por este agujero queda atrapada en la cavidad y se absorbe completamente luego de sucesivas reflexiones: ese hueco absorbe como un cuerpo negro. Por otro lado, al calentar la cavidad, la radiación que escapa es “radiación de cuerpo negro”, es decir el hueco es también un emisor perfecto: al aumentar la temperatura el agujero comienza pues a brillar.

Nos interesa entonces el espectro emitido: a cada frecuencia corresponde una densidad de energía por unidad de volumen $u$, que según las observaciones experimentales no depende ni de la composición química ni de la forma del objeto, solo de la temperatura $T$. El máximo de esta distribución se da para una frecuencia $\nu_m$ proporcional a $T$ (ley de Wien), por eso el color dominante va cambiando de rojo a amarillo y luego a blanco. ¿Cómo se explica este comportamiento espectral?

En 1879 J. Stefan encontró experimentalmente que la intensidad total (potencia por unidad de área) es

$${\cal P} = a\sigma T^4$$   (ley de Stefan-Boltzmann)$$\;,$$

donde $\sigma\!=\!5,67\times 10^{-8}$ W/(m$^2$K$^4$) es una constante universal y en general $a\le 1$; en el caso de un cuerpo negro ideal $a\!=\!1$. Esta relación fue respaldada teóricamente por Boltzmann, quien en 1884 la demostró combinando argumentos termodinámicos con electromagnetismo. A partir de estos argumentos, en 1894 Wien derivó la distribución espectral

$$u(\nu,T) = A\nu^3 e^{-\beta\nu/T} \;$$

donde los parámetros $A$ y $\beta$ se ajustan a los datos experimentales; esta expresión solo predice correctamente las región de altas frecuencias.

Rayleigh planteó en 1900 ondas electromagnéticas estacionarias con nodos en las superficies metálicas. En el equilibrio térmico, la energía media total contenida en la cavidad con frecuencias en el intervalo $[\nu,\nu+ {\rm d}\nu]$ se obtiene multiplicando el valor medio $\langle E(\nu)\rangle$ almacenado en un modo de frecuencia $\nu$, por el número total de modos $N(\nu) {\rm d}\nu$ con frecuencias en ese intervalo. Para obtener $N(\nu) {\rm d}\nu$ podemos pensar en una cavidad cúbica de lado $L$, en la cual escribimos el campo eléctrico estacionario de amplitud $A$ sujeto a las condiciones de borde

$$E = A \sen (k_1 x) \sen (k_2 y) \sen (k_3 z) \;, \qquad \bm{k}=(k_1,k_2,k_3)=\frac{\pi}{L}(n_1,n_2,n_3) \qquad (n_j\in\mathbb{N}) \;.$$

Tomando la relación de dispersión en el vacío $\omega=c\vert\bm{k}\vert=2\pi\nu\,$ ($c$ es la velocidad de la luz en el vacío), para calcular $N(\nu) {\rm d}\nu$ podemos pensar la variable $\bm{k}$ como continua y evaluar el volumen en ese espacio entre $k$ y $k+ {\rm d}k$ ( $4\pi k^2 {\rm d}k$) dividido el volumen correspondiente a cada estado (que resulta $\pi^3/V$, si tenemos adecuadamente en cuenta la separación entre valores contiguos de $k_i$). Se deja como ejercicio completar el cálculo, teniendo presente que solo son relevantes los estados estacionarios con $k_i\ge 0$, y que para cada modo electromagnético hay dos polarizaciones independientes. De este modo encontramos

$$N(\nu) {\rm d}\nu = \frac{8\pi V}{c^3} \nu^2 {\rm d}\nu \:.$$

Por otro lado, para calcular $\langle E(\nu)\rangle$ podemos utilizar la distribución de Boltzmann, análogamente a lo planteado en teoría cinética de los gases: la probabilidad de que el modo con frecuencia $\nu$ adquiera un estado con energía $E$ es proporcional a $e^{-E/(kT)}$, donde $k=1,3807\times 10^{-23}$ J/K es la constante de Boltzmann. De este modo

$$\langle E(\nu)\rangle = \frac{\displaystyle\int_0^\infty {\rm ... ...; E e^{-E/(kT)}} {\displaystyle\int_0^\infty {\rm d}E\; e^{-E/(kT)}} = kT$$

resulta independiente de $\nu$. Así, la energía por unidad de volumen con frecuencias entre $\nu$ y $\nu+ {\rm d}\nu$ resulta

$$u(\nu,T) {\rm d}\nu = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} kT {\rm d}\nu$$   (ley de Rayleigh-Jeans)$$\;.$$

Esta descripción solo es válida para bajas frecuencias, y diverge para $\nu$ grandes, con lo cual la cantidad total de energía contenida en la cavidad es infinita, lo que es absurdo. Este fracaso de las predicciones de la física clásica se conoció como catástrofe del ultravioleta. La resolución de este problema fue propuesta por Planck en 1900, quien interpoló los resultados anteriores, asumiendo que los intercambios de energía en las paredes de la cavidad deben ser discretos: solo pueden transferirse múltiplos de $h\nu$, donde $h$ es una constante universal; es

 

decir, la energía almacenada en un modo de frecuencia $\nu$ es $E(\nu)=nh\nu$, con $n=0,1,2,3\cdots$ Esta regla de cuantización de Planck (o postulado de Planck) nos permite recalcular el valor medio de energía en cada modo (ejercicio): $$\hspace{4em} \langle E(\nu)\rangle\ = \frac{\displaystyle\sum_{n=... ...laystyle\sum_{n=0}^\infty e^{-nh\nu/(kT)}} = \frac{h\nu}{ e^{h\nu/(kT)}-1} \;.$$ Así obtenemos la distribución de Planck

 

$$\hspace{7em} \fbox{\ \ \ $\displaystyle u(\nu,T)\, \,{\rm d}\nu =... ..., \frac{h\nu}{ e^{h\nu/(kT)}-1}\,\,{\rm d}\nu \rule[-1.75em]{0em}{4em} $\ \ \ }$$ (1)

Esta expresión predice adecuadamente los datos experimentales, ajustando la constante de Planck $h=6,626\times 10^{-34}$ J$\cdot$s, constituyéndose en una evidencia contundente de la cuantización de la energía. La constante de Planck interviene sucesivamente en los desarrollos de la cuántica, por lo que aparece siempre como todo un símbolo de esta rama de la física.

Es interesante notar que cuando las frecuencias son predominantemente bajas, es decir $h\nu\ll kT$, el valor de $\langle E(\nu)\rangle$ coincide con el predicho por la clásica (ejercicio). Por otro lado, la predicción para la energía total contenida en la cavidad resulta finita:

$$\int_0^\infty u(\nu,T) {\rm d}\nu = \frac{8\pi^5 k^4}{15 h^3 c^3} T^4 \;,$$

es decir, se recupera la ley de Stefan-Boltzmann (otro ejercicio). Finalmente, para frecuencias muy altas ( $h\nu\gg kT$), se reobtiene la ley de Wien (otro ejercicio más).