Evolución temporal. Teorema de Ehrenfest

Todo esto nos permite volver a la ecuación de Schrödinger, en la que es fácil verificar que el operador hamiltoniano

$$\widehat{H} \equiv -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2 + V(\bm{r})$$

es hermitiano, en particular porque tanto $\bm{r}\,$ como $\bm{p}\,$ son hermitianos (ejercicio). En la representación coordenada la ecuación de Schrödinger

$$i\hbar\, \frac{\partial \,}{\partial t}\!\!{\rule{0em}{0.8em}}^{\displaystyle \vert\psi(t)\rangle} = \hat{H} \vert\psi(t)\rangle \;,$$ (13)

es una ecuación diferencial separable cuando $\hat{H}\,$ no depende explícitamente de $t$, de manera que proponiendo soluciones $\Psi(\bm{r},t)$= $R(\bm{r})\,\tau(t)\,$ el problema por un lado es resolver la ecuación de autovalores

$$\hat{H}\,R_n(\bm{r}) = E_n\,R_n(\bm{r})$$   o bien$$\quad \hat{H}\,\vert\phi_n\rangle = E_n\,\vert\phi_n\rangle \;,$$

que es también llamada ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Los autovectores o “autoestados” $\vert\phi_n\rangle\,$ asociados con los autovalores $E_n\,$ conforman una base del espacio de vectores de estado para el sistema descripto. Para cada $E_n\,$ la ecuación para la evolución temporal se resuelve fácilmente

$$i\hbar\dot{\tau}(t) = E_n\,\tau(t) \quad\Rightarrow\quad \tau(t) = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize$i E_n t$}}{\mbox{\scriptsize$\hbar$}}} \;,$$ (14)

de modo que, siempre que $\hat{H}\,$ sea independiente de $t$, el problema de encontrar el estado del sistema de interés se reduce a resolver la ecuación de autovalores $\hat{H}\vert\phi_n\rangle$= $E_n\vert\phi_n\rangle$. A menudo recurrimos al propagador temporal, es decir, el operador unitario

$$\hat{U}_t = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}}$$

para escribir la solución “formal” de (13) como si $\hat{H}\,$ fuese un escalar

$$\vert\psi(t)\rangle = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize$it$}}{\mbox{\scriptsize$\hbar$}}\hat{H}}\vert\psi(0)\rangle = \hat{U}_t\,\vert\psi(0)\rangle \;.$$ (15)

Este truco es equivalente a resolver las ecuaciones en $\bm{r}\,$ y $t\,$ para cada autovalor y luego proponer la solución general como

$$\vert\psi(t)\rangle = \sum_n c_n\, \vert\phi_n\rangle\, e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $i E_n t$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}} \;;$$

de modo que resulta obvio que se cumple la evolución temporal (15), ya que los $\vert\phi_n\rangle\,$ son autoestados de $\hat{H}$.

Este enfoque para resolver la descripción de un sistema cuántico se conoce como representación de Schrödinger: las ecuaciones “de movimiento” conducen a una transformación unitaria del estado $\vert\psi(t)\rangle\,$ a medida que transcurre $t\,$; en este caso los observables son independientes de $t$, y lo que va evolucionando es el vector de estado. En la representación de Heisenberg en cambio, pensamos que $\vert\psi\rangle\,$ está quieto y que los operadores que representan a las variables dinámicas son los que van cambiando con $t\,$:

$$\hat{A}_H = e^{\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsize $... ... \hat{U}_{\!(-t)}\, \hat{A}\, \hat{U}_{\!(-t)}\hspace{-1.3em}{}^\dagger \quad.$$

En lugar de ver que $\vert\psi(t)\rangle\,$ se transforma hacia delante, visualizamos a $\hat{A}\,$ viajando hacia atrás, y por eso la transformación involucra a $\hat{U}_{(-t)}=\hat{U}_{t}^\dagger$. En esta representación, utilizando la ecuación de Schrödinger podemos escribir

$$\frac{\,{\rm d}\hat{A}_H}{\,{\rm d}t} = \frac{i}{\hbar} \left( ... ...\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}}\,\hat{H}\right) ,$$

o bien

$$\frac{\,{\rm d}\hat{A}_H}{\,{\rm d}t} = \frac{i}{\hbar} \left[\hat{H},\hat{A}_H\right] \;.$$ (16)

Esta es la ecuación de movimiento de Heisenberg, y en esta representación reemplaza a la ecuación de Schrödinger. Si bien la representación de Schrödinger es más frecuente, recurriremos a la de Heisenberg cuando sea conveniente, ya que ambas son equivalentes.

La ecuación anterior (16) es similar a la que obtenemos cuando, en la representación de Schrödinger analizamos la evolución temporal del valor de expectación de un operador $\hat{A}$, recordando que $\dot{\psi}$= $-(i/\hbar)\hat{H}\psi$ en la representación coordenada

$$\frac{\,{\rm d}\langle\hat{A}\rangle}{\,{\rm d}t} = \int \,{\rm d... ...at{H}\,\psi + \left\langle\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right\rangle \;,$$

de donde obtenemos el conocido teorema de Ehrenfest

$$\frac{\,{\rm d}\langle\hat{A}\rangle}{\,{\rm d}t} = \frac{i}{\hba... ...\right\rangle + \left\langle\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right\rangle \;.$$ (17)

Cuando $\hat{A}\,$ no depende explícitamente de $t\,$ y $\hat{A}\,$ conmuta con $\hat{H}$, $\langle\hat{A}\rangle\,$ es una constante de movimiento. Este resultado nos recuerda una identidad similar de la mecánica clásica para una magnitud cualquiera $f\,$ que puede depender explícitamente de los impulsos $\bm{p}$, las coordenadas $\bm{q}\,$ y $t$

$$\frac{\,{\rm d}~}{\,{\rm d}t}f(\bm{p},\bm{q},t) = \left\{H,f\right\}_{\rm cl\acute{a}s} + \frac{\partial f}{\partial t} \;,$$

donde $\{\cdot,\cdot\}_{\rm cl\acute{a}s}\,$ se refiere al corchete de Poisson. En caso de que $f\,$ no dependa explícitamente de $t\,$ y $\{H,f\}_{\rm cl\acute{a}s}$=0, $f\,$ es una constante de movimiento. Claramente, el corchete de Poisson se asocia con $-i/\hbar\,$ veces el conmutador de las variables dinámicas asociadas.

Una ilustración interesante del teorema de Ehrenfest involucra a los operadores $\hat{\bm{r}}\,$ y $\hat{\bm{p}}$, para los cuales pueden calcularse los conmutadores con $\hat{H}$ (ejercicio)

$$[\hat{H},\hat{\bm{r}}] = -\frac{i\hbar}{m}\,\hat{\bm{p}} \;,\qquad [\hat{H},\hat{\bm{p}}] = i\hbar\, \nabla V(\bm{r}) \;,$$

de manera que a partir de (17) obtenemos

$$\frac{\,{\rm d}\langle\bm{r}\rangle}{\,{\rm d}t} = \frac{\langle\bm{p}\rangle}{m}$$   y$$\qquad \frac{\,{\rm d}\langle\bm{p}\rangle}{\,{\rm d}t} = -\langle\nabla V(\bm{r})\rangle = \langle \bm{F}(\bm{r})\rangle \;.$$

Reuniendo estas dos igualdades recuperamos la entrañable 2$^a\,$ ley de Newton

$$m\frac{\,{\rm d}^2\langle\bm{r}\rangle}{\,{\rm d}t^2} = \langle\bm{F}(\bm{r})\rangle \;.$$