Bases continuas

La representación en bases continuas es similar, aunque conviene destacar algunas diferencias. Los elementos $\vert\chi_k\rangle\,$ de la base —donde $k\,$ es un índice continuo— satisfacen la condición de “ortonormalización”

$$\langle\chi_k\vert\chi_{k'}\rangle = \delta(k-k')$$   (delta de Dirac)$$\;.$$

La condición de completitud o cierre en este caso se expresa

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}{k}\; \vert\chi_k\rangle \langle\chi_k\vert = \hat{I} \;.$$

En esta base podemos representar cualquier vector $\vert\psi\rangle\,$ como

$$\vert\psi\rangle = \left(\int_{-\infty}^{+\infty}\,{\rm d}{k}\;... ...angle = \int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}{k}\; b(k)\, \vert\chi_k\rangle \;,$$

donde $b(k)=\langle\chi_k\vert\psi\rangle\,$ es la proyección de $\vert\psi\rangle\,$ sobre $\vert\chi_k\rangle$.

Esta es la expansión que utilizábamos para pensar un paquete de ondas como superposición de ondas planas. Aunque los $\vert\chi_k\rangle\,$ no están normalizados a 1, suele pensarse en un volumen finito $V\!=\!L^3\,$ que contiene a estas ondas, en cuyo caso cada componente de impulso $\bm{p}\!=\!\hbar\bm{k}\,$ se renormaliza como

$$\vert\chi_{\mbox{\footnotesize\boldmath $p$}}^{(V)}\rangle \quad\... ...\footnotesize\boldmath $p$}}\cdot{\mbox{\footnotesize\boldmath $r$}}/\hbar}\;.$$

Esto se corresponde con la imposición de condiciones periódicas, de modo que $\bm{p}\,$ deja de ser una variable continua y puede tomar los valores

$$\bm{p} = \frac{2\pi\hbar}{L} (n_1,n_2,n_3) \qquad (n_1,n_2,n_3=1,2,3,\dots) \;;$$

así, la condición de ortonormalización pasa a ser

$$\langle\chi_{\mbox{\footnotesize\boldmath $p$}}^{(V)}\vert\chi_{\... ...{{\mbox{\footnotesize\boldmath $p$}},{\mbox{\footnotesize\boldmath $p'$}}} \;.$$

En la representación coordenada por ejemplo, la base $\{\vert\bm{r}\rangle\}\,$ es el conjunto de autovectores del operador $\hat{\bm{r}}$

$$\hat{\bm{r}} \vert\bm{r}\rangle = \bm{r} \vert\bm{r}\rangle \;.$$

Esta base cumple también

$$\langle\bm{r}\vert\bm{r'}\rangle = \delta(\bm{r}-\bm{r'}) = \delta(x-x')\,\delta(y-y')\,\delta(z-z') \;.$$

La descomposición de cualquier vector $\vert\psi\rangle\,$ en esta base es

$$\vert\psi\rangle = \int\!\,{\rm d}^3 r\; \vert\bm{r}\rangle \la... ...{r}\vert\psi\rangle = \int\!\,{\rm d}^3 r\; \psi(\bm{r})\, \vert\bm{r}\rangle$$

—donde se evidencia que $\psi(\bm{r})=\langle\bm{r}\vert\psi\rangle\,$ no es lo mismo que el vector $\vert\psi\rangle$ sino la componente de $\vert\psi\rangle$ según $\vert\bm{r}\rangle$— y el producto escalar,

$$\langle\phi\vert\psi\rangle = \langle\phi\vert\left(\int\!\,{\rm... ...ght)\vert\psi\rangle = \int\!\,{\rm d}^3 r\; \phi^*(\bm{r})\,\psi(\bm{r}) \;.$$

Análogamente, en la representación momento, la base $\{\vert\bm{p}\rangle\}\,$ es el conjunto de autovectores del operador $\hat{\bm{p}}$

$$\hat{\bm{p}} \vert\bm{p}\rangle = \bm{p} \vert\bm{p}\rangle \;,$$

que cumple también la condición

$$\langle\bm{p}\vert\bm{p'}\rangle = \delta(\bm{p}-\bm{p'}) = \delta(p_x-p'_x)\,\delta(p_y-p'_y)\,\delta(p_z-p'_z) \;.$$

Cualquier vector $\vert\psi\rangle\,$ puede expresarse en esta base

$$\vert\psi\rangle = \int\!\,{\rm d}^3 p\; \vert\bm{p}\rangle \la... ...)\, \vert\bm{p}\rangle \qquad (\phi(\bm{p})=\langle\bm{p}\vert\psi\rangle)\;,$$

Para pasar de la representación $\{\vert\bm{r}\rangle\}\,$ a $\{\vert\bm{p}\rangle\}\,$ necesitamos una transformación $\langle\bm{r}\vert\bm{p}\rangle$

$$\psi(\bm{r}) = \langle\bm{r}\vert\psi\rangle = \langle\bm{r}\ver... ...gle = \int\!\,{\rm d}^3 p\;\langle\bm{r}\vert\bm{p}\rangle\, \phi(\bm{p}) \;.$$

Del mismo modo,

$$\phi(\bm{p}) = \langle\bm{p}\vert\psi\rangle = \langle\bm{p}\ver... ...gle = \int\!\,{\rm d}^3 r\;\langle\bm{p}\vert\bm{r}\rangle\, \psi(\bm{r}) \;.$$

Esta simetría en la transformación nos retrotrae al proceso de transformada de Fourier, cuya forma general es

$$f(\bm{r}) = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}} \int\!\,{\rm d}^3 p\; e^... ...\boldmath $p$}}\cdot{\mbox{\footnotesize\boldmath $r$}}/\hbar}\, g(\bm{p}) \;.$$

Es decir, en nuestro caso identificamos

$$\langle\bm{r}\vert\bm{p}\rangle = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}} e^{... ...\footnotesize\boldmath $p$}}\cdot{\mbox{\footnotesize\boldmath $r$}}/\hbar}\;.$$

Ya vimos además que en la representación coordenada asociamos al impulso el operador $\hat{\bm{p}}=-i\hbar\nabla\,$ y la ecuación de Schrödinger tiene la forma convencional (6). Análogamente, en la representación momento, la coordenada se asocia al operador $\hat{\bm{r}}=i\hbar\nabla_{\mbox{\footnotesize\boldmath $p$}}$, y la ecuación de Schrödinger se transforma correspondientemente

$$i\hbar\, \frac{\partial \,}{\partial t}\!\!{\rule{0em}{0.8em}}^{\... ...t) + V(i\hbar\nabla_{\mbox{\footnotesize\boldmath $p$}})\, \phi(\bm{p},t) \;.$$

Cualquier conmutador puede evaluarse en ambas representaciones; en particular, las relaciones canónicas de conmutación (ejercicio: en ambas representaciones)

$$[\hat{r}_j,\hat{p}_k]=i\hbar\,\delta_{j,k} \;;\qquad [\hat{r}_j,\hat{r}_k]=0 \;; \qquad [\hat{p}_j,\hat{p}_k]=0 \qquad (j,k=x,y,z)\;.$$

Análogamente, en ambas representaciones pueden demostrarse relaciones como

$$[\hat{x}^n,\hat{p}_x]=i\hbar n\, \hat{x}^{n-1} \;,\qquad [\hat{x},\hat{p}_x^n]=i\hbar n\, \hat{p}_x^{n-1} \;,$$

$$[f(\hat{x}),\hat{p}_x]=i\hbar\, \frac{\,{\rm d}f(\hat{x})}{\,{\rm... ...arrow \quad [\hat{\bm{p}},f(\hat{\bm{r}})]=-i\hbar\, \nabla f(\hat{\bm{r}}) \;,$$ (12)