Ecuación de Schrödinger

La pregunta que surge a esta altura es: ¿cuál será la ecuación que gobierne la evolución general de $\psi(\bm{r},t)\,$? Disponemos de varios indicios respecto de esta ecuación:

$\star$	debe ser una ecuación diferencial de primer orden en $t$, para que $\psi(\bm{r},t)\,$ quede determinada a partir de $\psi(\bm{r},0)$;
$\star$	debe ser lineal en $\psi$, de manera que valga el principio de superposición;
$\star$	debe ser homogénea, para que la condición de normalización valga para todo $t\,$ —la ecuación de continuidad (5) nos permitirá demostrarlo;
$\star$	esta ecuación debe ser satisfecha por las ondas planas $$\psi(\bm{r},t) = C\, e^{i[\mbox{\scriptsize\boldmath $p$}\bm{\cdot}\mbox{\scriptsize\boldmath $r$}-p^2/(2m)\,t]/\hbar} \;.$$

En el caso de las ondas planas se cumple

$$\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar} \frac{p^2}{2m} \, \psi = \frac{i}{\hbar} \frac{\hbar^2}{2m}\, \nabla^2\psi \;.$$

Reuniendo toda esta información, obtenemos la ecuación de Schrödinger para la partícula libre:

$$\fbox{\ \ \ $\displaystyle i\hbar\, \frac{\partial \,}{\partial t... ...\frac{\hbar^2}{2m}\, \nabla^2\psi(\bm{r},t) \rule[-1.75em]{0em}{4.2em} $\ \ \ }$$ (4)

Es importante notar que para la partícula libre entonces

$$\omega = \frac{E}{\hbar} = \frac{p^2}{2\hbar m} \;,$$

de manera que siempre hay ensanchamiento del paquete de ondas, tal como dedujimos más arriba.

También es interesante evaluar cómo cambia la densidad de probabilidad $\rho(\bm{r},t)$= $\vert\psi(\bm{r},t)\vert^2\,$ de hallar a la partícula a medida que transcurre $t$

$$\frac{\partial ~}{\partial t}\!\!\!{\rule{0em}{0.9em}}^{\displaystyle \rho(\bm{r},t)} = \psi^*\,\dot{\psi} + \dot{\psi^*}\,\psi \;.$$

Utilizando la ecuación de Schrödinger para reemplazar $\dot{\psi}\equiv\partial\psi/\partial t\,$ y su conjugada $\dot{\psi^*}\,$ obtenemos

$$\frac{\partial ~}{\partial t}\!\!\!{\rule{0em}{0.9em}}^{\displays... ...psi^*\left(\nabla^2\psi\right) - \left(\nabla^2\psi^*\right)\psi\, \Bigr] \;,$$

de modo que resulta natural definir la corriente de densidad de probabilidad o flujo de probabilidad como

$$\bm{j}(\bm{r},t) = - \frac{i\hbar}{2m} \Bigl[\, \psi^*\left(\nabla\psi\right) - \left(\nabla\psi^*\right)\,\psi\, \Bigr] \;.$$

De aquí surge la ecuación de continuidad

$$\frac{\partial ~}{\partial t}\!\!\!{\rule{0em}{0.9em}}^{\displaystyle \rho(\bm{r},t)} + \nabla\cdot\bm{j}(\bm{r},t) = 0 \;,$$ (5)

la cual representa de la conservación de la probabilidad asociada con la función de onda $\psi$ ^c. Esta ecuación es similar a la que conocíamos de la electrodinámica o a la que aparece en dinámica de fluidos. En particular, podemos ver que $\bm{j}\,$ está efectivamente relacionada con el momento lineal, ya que al multiplicar (5) por $\bm{r}\,$ e integrar sobre todo el espacio obtenemos

$$\frac{\,{\rm d}\langle\bm{r}\rangle}{\,{\rm d}t~} = \int \,{\rm d... ...}^3 r\; \bm{r} \left(\nabla\cdot\bm{j}\right) = \int \,{\rm d}^3 r\; \bm{j}\,,$$

donde queda como ejercicio la integración por partes para obtener el último miembro. Usando la definición de $\bm{j}\,$ e integrando por partes obtenemos la relación

$$m\,\frac{\,{\rm d}\langle\bm{r}\rangle}{\,{\rm d}t~} = \int \,{\rm d}^3 r \; \psi^* (-i\hbar\nabla)\, \psi = \langle \bm{p}(t) \rangle \;,$$

es decir, los valores medios obedecen las leyes de la clásica. Este resultado es conocido como teorema de Ehrenfest, y veremos que tiene varias versiones.

Del análisis precedente de la partícula libre resulta natural la asociación $\bm{p}\to -i\hbar\nabla$, es decir que el impulso en cuántica se representa en realidad mediante un operador diferencial; también vimos que algo similar ocurre con la energía, lo que nos llevaría a identificar $E\to i\hbar\partial /\partial t$. El principio de correspondencia establece justamente que en cuántica las cantidades físicas tienen asignados operadores. Por supuesto, las relaciones de la mecánica cuántica deben corresponderse con los resultados de la clásica cuando sea pertinente.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la partícula libre (4) evoca claramente la relación clásica

$$E = \frac{\bm{p}^2}{2m} \;,$$

lo que naturalmente sugiere que en el caso de una partícula sometida a un potencial $V(\bm{r})$, la relación general

$$E = \frac{\bm{p}^2}{2m} + V(\bm{r})$$

debe tener su correspondencia en cuántica. Justamente, siguiendo con las asociaciones anteriores se llega a la ecuación de Schrödinger sobre la cual está basada la teoría cuántica no relativista:

$$\fbox{\ \ \ $\displaystyle i\hbar\, \frac{\partial \,}{\partial t... ...2\psi(\bm{r},t) + V(\bm{r})\, \psi(\bm{r},t)\rule[-1.75em]{0em}{4.2em} $\ \ \ }$$ (6)

Identificando al operador hamiltoniano

$$\hat{H} \equiv -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2 + V(\bm{r})$$

reescribimos (6) como

$$i\hbar\, \frac{\partial \,}{\partial t}\!\!{\rule{0em}{0.8em}}^{\displaystyle \psi(\bm{r},t)} = \hat{H}\, \psi(\bm{r},t)$$ (7)

Afortunadamente, la ecuación de Schrödinger (6) implica también la ecuación de continuidad (5) aun en presencia de un potencial $V(\bm{r})\neq 0$ (ejercicio: verificar). Para ello es importante que $V(\bm{r})\,$ sea real, lo que resulta de las restricciones que deben imponerse a los operadores con que trabajaremos en la física cuántica.

Es importante notar que no hemos deducido las ecuaciones (4) o (6)-(7); simplemente vimos su plausibilidad, de manera que no nos resulten tan extrañas. La ecuación de Schrödinger forma parte de los postulados de la cuántica, y por lo tanto no se derivan formalmente, sino que se aceptan como punto de partida para desarrollar una teoría. Lo mismo ocurre con el principio de mínima acción de la mecánica clásica o las ecuaciones de Maxwell en el electromagnetismo. Por supuesto, como en toda construcción teórica se proponen los postulados de manera que sus predicciones concuerden con la evidencia experimental.