En física clásica una partícula está bien localizada: su velocidad y posición pueden darse simultáneamente con precisión arbitraria. La cuántica, en cambio, asocia a cada partícula material una función de onda: la onda de materia según la conjetura de de Broglie. Como vimos, éste es un cambio verdaderamente importante, ya que las ondas se extienden en todo el espacio, y en general no pueden pensarse como algo localizado. A lo sumo podemos esperar que una función de onda tenga amplitud grande cerca de donde pasaría la trayectoria de la correspondiente partícula clásica, y se anule lejos de esa región.
Una función así localizada es un “paquete de ondas”: grupo de ondas con frecuencias levemente diferentes, y fases y amplitudes tales que interfieren constructivamente en una región reducida del espacio y destructivamente fuera de ella. Esta composición de ondas resulta razonable en virtud del principio de superposición que aceptamos a partir de los experimentos de difracción o el de la doble rendija. Para superponer muchas ondas planas recurrimos naturalmente a las transformadas de Fourier, que nos depararon tan gratas emociones en un tiempo que añoramos. Por ejemplo, en una dimensión
donde la amplitud del paquete de ondas indica de algún modo la presencia de la onda plana con frecuencia y vector de onda . En particular para
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Entonces, así como representa la densidad de probabilidad de hallar a la partícula en la posición al tiempo , es la probabilidad de tener un vector de onda en el intervalo [,+d]. Además, es fácil demostrar (teorema de Parseval) que la densidad de probabilidad está adecuadamente normalizada:
Usando la relación de de Broglie , , y redefiniendo de modo que también sea una densidad de probabilidad normalizada para la variable , podemos escribir
Un ejemplo que ayuda a interpretar el significado de las funciones de ondas es el paquete de ondas gaussiano
donde se obtiene a partir de la condición de normalización (ejercicio). Es sencillo verificar que la transformada de Fourier de una gaussiana es otra gaussiana, que en este caso resulta
A partir de estas densidades de probabilidad es posible calcular los valores medios para las variables mediante el procedimiento habitual