Paquetes de onda: ecuación de Schrödinger (basado en el texto de Zettili)

En física clásica una partícula está bien localizada: su velocidad y posición pueden darse simultáneamente con precisión arbitraria. La cuántica, en cambio, asocia a cada partícula material una función de onda: la onda de materia según la conjetura de de Broglie. Como vimos, este es un cambio verdaderamente importante, ya que las ondas se extienden en todo el espacio, y en general no pueden pensarse como algo localizado. A lo sumo podemos esperar que una función de onda tenga amplitud grande cerca de donde pasaría la trayectoria de la correspondiente partícula clásica, y se anule lejos de esa región.

Una función así localizada es un “paquete de ondas”: grupo de ondas con frecuencias levemente diferentes, y fases y amplitudes tales que interfieren constructivamente en una región reducida del espacio y destructivamente fuera de ella. Esta composición de ondas resulta razonable en virtud del principio de superposición que aceptamos a partir de los experimentos de difracción o el de la doble rendija. Para superponer muchas ondas planas recurrimos naturalmente a las transformadas de Fourier, que nos depararon tan gratas emociones en un tiempo que añoramos. Por ejemplo, en una dimensión

$$\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}k\; \phi(k)\, e^{i(kx-\omega t)} \;,$$ (2)

donde la amplitud del paquete de ondas $\phi(k)\,$ indica de algún modo la presencia de la onda plana con frecuencia $\omega\,$ y vector de onda $k$. En particular para $t\!=\!0$ $$\psi_o(x) \equiv \psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}k\; \phi(k)\, e^{ikx} \;;$$ es decir, $\phi(k)\,$ es la transformada de Fourier de $\psi_o(x)$ $$\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}x\;\psi_o(x)\,e^{-ikx} \;.$$ Esto significa que cuando conocemos $\phi(k)\,$ es posible determinar $\psi_o(x)\,$ y viceversa. En el caso de una onda que tenga solo valores de $k\,$ más o menos próximos a cierto $k_o$, en $x$=0 el integrando suma constructivamente para los diferentes $k\,$ (si $\phi(k)\,$ es real), ya que $e^{ikx}\!=\!1$; en cambio si $\vert x\vert\,$ se aleja bastante de $x\!=\!0$, $e^{ikx}$ cambia rápidamente de signo a medida que varía $k$, por lo que la integral puede anularse. Es decir, hay alta probabilidad de encontrar la partícula en $x$=0 y se achica a medida que $\vert x\vert\,$ crece. El mismo significado se asigna a $\phi(k)$: la probabilidad de tener valores de $k\,$ próximos a $k_o\,$ es alta, y se reduce para valores de $k\,$ alejados de $k_o$.

 

Entonces, así como $\vert\psi(x,t)\vert^2\,$ representa la densidad de probabilidad de hallar a la partícula en la posición $x\,$ al tiempo $t$, $\vert\phi(k)\vert^2 \,{\rm d}k\,$ es la probabilidad de tener un vector de onda en el intervalo [$k$,$k$+d$k$]. Además, es fácil demostrar (teorema de Parseval) que la densidad de probabilidad $\vert\phi(k)\vert^2\,$ está adecuadamente normalizada:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}k\; \bigr\vert\phi(k)\bigr\vert^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}x\; \bigr\vert\psi(x)\bigr\vert^2 = 1 \;.$$

Para demostrarlo (ejercicio), solo es necesario recordar que la delta de Dirac puede definirse como

$$\delta(x'-x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}k\; e^{ik(x'-x)} \;.$$

Usando la relación de de Broglie $k\!=\!p/\hbar$, $E\!=\!\hbar\omega$, y redefiniendo $\varphi(p)\!=\!\phi(k)/\sqrt{\hbar}$ de modo que $\vert\varphi(p)\vert^2\,$ también sea una densidad de probabilidad normalizada para la variable $p$, podemos escribir

$$\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}p\; \varphi(p)\; e^{i(px-Et)/\hbar} \;,$$

y a partir de evaluar $\psi_o(x)$, la transformada de Fourier en este caso es

$$\varphi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}x\; \psi_o(x)\, e^{-ipx/\hbar} \;.$$

Usaremos esta representación de $\varphi(p)\,$ con la variable $p\,$ alternativamente con la distribución $\phi(k)$.

Un ejemplo que ayuda a interpretar el significado de las funciones de ondas es el paquete de ondas gaussiano

$$\phi(k) = A\, e^{-a^2(k-k_o)^2/4} \;,$$ (3)

donde $A\,$ se obtiene a partir de la condición de normalización (ejercicio). Es sencillo verificar que la transformada de Fourier de una gaussiana es otra gaussiana, que en este caso resulta

$$\psi_o(x) = \left(\frac{2}{\pi a^2}\right)^{1/4}\, e^{ik_o x}\, e^{-x^2/a^2} \;.$$

A partir de estas densidades de probabilidad es posible calcular los valores medios para las variables mediante el procedimiento habitual

$$\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}x\; x\; \bigl\vert\psi(x,t)\bigr\vert^2 \;,$$

y el valor medio de cualquier función de estas variables, en particular

$$\langle x^2 \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}x\;x^2\;\bigl\vert\psi(x,t)\bigr\vert^2 \;,$$

mediante la cual puede evaluarse la desviación cuadrática media

$$\Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2} = \sqrt{\langle (x - \langle x \rangle)^2\rangle} \:.$$

Del mismo modo, para la variable $k$,

$$\langle k \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}k\; k\; \bi... ...^2 \;, \qquad \Delta k = \sqrt{\langle k^2 \rangle - \langle k \rangle^2} \;.$$

En el caso de la distribución gaussiana (3) resulta (ejercicio) $\langle x \rangle\!=\!0\,$, $\langle k \rangle\!=\!k_o\,$ y

$$\Delta x = \frac{a}{2} \;,\quad \Delta k = \frac{1}{a} \;\quad \Rightarrow \Delta x\;\Delta k = \frac{1}{2} \;,$$

y como $p=\hbar k$,

$$\Delta x \; \Delta p = \frac{\hbar}{2} \;.$$

Vemos así que para el paquete gaussiano se tiene la incertidumbre mínima predicha por el principio de Heisenberg.