Propagación de un paquete de ondas

Veamos ahora qué ocurre si la propagación del paquete de ondas se realiza en un medio no dispersivo, es decir se cumple la relación $\omega=v_o\,k$, donde $v_o\,$ es una constante. Aunque todavía no sabemos qué significa esto, está claro que se cumple

$$\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}k\; \phi(k)\, e^{ik(x - v_o t)} = \psi_o(x - v_o t) \;,$$

es decir el paquete de ondas se propaga a velocidad $v_o\,$ constante, sin distorsión.

En general hay que esperar que no haya necesariamente una relación $\omega(k)\,$ lineal, como en los medios dispersivos que conocíamos de la electrodinámica. En ese caso, si $\phi(k)\,$ está más o menos concentrada alrededor de cierto $k_o$, interesan solo valores de $k\,$ próximos a $k_o$, por lo que retenemos los primeros términos en el desarrollo de Taylor

$$\omega(k) = \omega(k_o) + (k-k_o)\,\left.\frac{\,{\rm d}\omega}{\... ..._o)^2\, \left.\frac{\,{\rm d}^2\omega}{\,{\rm d}k^2}\right\vert _{k_o} + \dots$$

Aquí reconocemos la velocidad de grupo

$$v_g \equiv \left.\frac{\,{\rm d}\omega}{\,{\rm d}k}\right\vert _{k_o} \;,$$

y también recordamos la definición de velocidad de fase $v_f=\omega(k)/k$, aunque en este contexto esta última tiene poco significado físico. En particular, si denotamos como $v_f^o=\omega(k_o)/k_o\,$ a la velocidad de fase asociada con $k_o\,$, $q\!=\!k\!-\!k_o\,$ y $\,\omega^{\prime\prime}(k)\!=\!\,{\rm d}^2\omega/\,{\rm d}k^2$, podemos reescribir (2) como

$$\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{i k_o (x-v_f^o t)} \int_{-... ...+q)\,e^{iq(x-v_g t)}\, e^{-i q^2 \omega^{\prime\prime}(k_o) t/2 + \cdots} \;.$$

 

Al igual que en la propagación de ondas electromagnéticas, vemos que si bien cada componente individual con vector de onda $k\,$ se mueve con $v_f$, el paquete como un todo se mueve con $v_g$. Si la partícula viaja en un potencial $V(x)$ = constante, $v_g\,$ puede deducirse aproximando la energía de la partícula mediante algún valor promedio $\bar{p}\!=\!\hbar\,\bar{k}$ de impulso $$E \simeq \frac{~\bar{p}^2}{2m} + V = \hbar\bar{\omega} \;,$$

 

$$\hookrightarrow\quad v_g = \frac{\,{\rm d}E(\bar{p})}{\,{\rm d}\bar{p}} = \frac{\bar{p}}{m} \;, \rule{8em}{0em}$$

que es la velocidad con que se traslada una partícula clásica. En muchas ocasiones nos referiremos a esto diciendo que el centro del paquete de ondas viaja obedeciendo la clásica (o que sigue la trayectoria predicha por la clásica). Este análisis también sugiere que en general la velocidad de grupo va cambiando a medida que el paquete de ondas avanza si el potencial no es constante, pues condiciona los valores que toma $\bar{p}$, y por ende, $v_g$.

En el caso general del paquete gaussiano propagándose en un medio dispersivo, es necesario incluir (al menos) el término cuadrático en la expansión de $\omega(k)$. Un ejercicio interesante es hallar cómo queda conformado el paquete para un instante $t\,$ cualquiera

$$\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\frac{a^2}{2\pi}\right)^{... ... t)}\, e^{-\big[a^2/4 + i\omega^{\prime\prime}(k_o)t/2\big] q^2 + \cdots} \;.$$

La solución nos permite ver que (ejercicio)

$$\bigl\vert\psi(x,t)\bigr\vert^2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\Delta x(t)} \, e^{-[(x-v_g t)/\Delta x(t)]^2/2} \;,$$

con

$$\Delta x(t) = \frac{a}{2} \sqrt{1+\frac{4}{a^4}\bigl[\omega^{\pri... ...t{1+\frac{\bigl[\omega^{\prime\prime}(k_ o)\bigr]^2 t^2}{4{\Delta x_o}^4}} \;.$$

Al igual que en el caso anterior, el centro del paquete se traslada con $v_g$. Vemos en cambio que en el caso de propagarse en un medio dispersivo, la función de onda inicialmente tiene un ancho $\Delta x_o$=$a/2\,$ y va creciendo con $t$, debido a la inclusión del término cuadrático en $\omega(k)$ (claramente, si $t\ll{\Delta x_o}^2/\omega^{\prime\prime}(k_ o)$, no se nota ningún ensanchamiento).