El impulso como operador en el espacio de coordenadas

Pronto veremos que el carácter complejo de las transformadas de Fourier sugiere considerar a las funciones de onda como elementos de un espacio vectorial, donde los productos escalares respetan ese carácter, se pueden computar en el espacio original o en el transformado, se obtiene naturalmente la identidad de Parseval, y trabajaremos con operadores cuyos valores de expectación se computan también como productos escalares. El momento lineal reviste un significado muy especial en la cuántica, y ya vimos que para un paquete de ondas no posee un valor bien definido, aunque sí un valor de expectación $\langle\bm{p}\rangle$: para un estado arbitrario $\psi(\bm{r},t)$, recordando que $\vert\varphi(\bm{p})\vert^2$= $\vert\phi(\bm{k})\vert^2/\hbar^3\,$ es una densidad de probabilidad, podemos calcular

Integrando por partes en $\bm{r}$ y teniendo en cuenta que $\psi\to0\,$ cuando $\vert\bm{r}\vert\to\infty$, obtenemos

$$\langle\bm{p}\rangle = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}\,\hbar^3} \int\!\,{\... ...box{\footnotesize\boldmath $r$}-\mbox{\footnotesize\boldmath $r'$})/\hbar} \;,$$

y recordando que

$$\frac{1}{(2\pi)^{3/2}\,\hbar^3} \int\!\,{\rm d}^3 p\; e^{i\mbox{\... ...th $r$}-\mbox{\footnotesize\boldmath $r'$})/\hbar} = \delta(\bm{r}-\bm{r}')\;,$$

vemos que para cualquier estado $\psi(\bm{r},t)\,$ se cumple que

$$\langle\bm{p}\rangle = \int\!\,{\rm d}^3 r\; \psi^*(\bm{r},t)\;\frac{\hbar}{i} \nabla\; \psi(\bm{r},t) \;,$$

de modo que naturalmente se asocia

$$\bm{p} = -i\hbar \nabla \;.$$