Regla de cuantización de Wilson-Sommerfeld

Hasta aquí contamos con el postulado de Planck para cuantizar la energía como $E\!=\!h\nu$ en el caso de intercambio de radiación electromagnética, y también las reglas de cuantización derivadas del modelo atómico de Bohr ( $L\!=\!n\hbar$). En 1916 Wilson y Sommerfeld intentaron formalizar estas ideas proveyendo reglas que contuvieran a las anteriores: según esta propuesta, para sistemas cuyas coordenadas son periódicas en el tiempo debe estar cuantizada la variable acción de la mecánica clásica:

$$\oint p \,{\rm d}q = n h \qquad (n=0,1,2,\dots)$$

Veamos en un par de ejemplos que la regla de cuantización de Wilson-Sommerfeld efectivamente contiene a las anteriores. Para un oscilador armónico unidimensional, puede verificarse (ejercicio) que

$$\oint p \,{\rm d}q = \frac{E}{\nu} \;,$$

la cual debe ser múltiplo de $h$, de modo que $E_n\!=\!nh\nu$, en consonancia con el postulado de Planck si asociamos cada modo electromagnético de una cavidad con un oscilador armónico. Si analizamos un electrón moviéndose en una órbita circular, utilizando la coordenada angular $\phi$ obtenemos

$$\oint L \,{\rm d}\phi = n h \;.$$

Como en un potencial central el momento angular $L\,$ se mantiene constante, vemos que esta condición se traduce como $L\!=\!n\hbar$, como recomendaba el modelo de Bohr.

Estas reglas de cuantización gobernaron la cuántica de 1900 a 1925, y a los desarrollos logrados durante ese período se los abarca bajo el nombre de “vieja teoría cuántica”.