El modelo atómico de Bohr

En 1913 Bohr propuso un modelo más estable pensando solo en órbitas circulares. Sus hipótesis son contrarias a la clásica, y sin duda arbitrarias:

$_{^\circ}$	Solo se permiten órbitas “estables” (estados estacionarios) con ciertas energías discretas $E_1$, $E_2$, $E_3$, etc.
$_{^\circ}$	Las órbitas permitidas tienen momento angular múltiplo entero de $\hbar=\displaystyle\frac{h}{2\pi}$ $$L = n\hbar$$   (regla de cuantización de Bohr)
$_{^\circ}$	El electrón no pierde energía (no emite) si permanece en una órbita estacionaria. Los intercambios de energía son discretos, saltando de una órbita a otra; la diferencia de energía correspondiente a la transición electrónica de la órbita $m\,$ hacia la $n\,$ es liberada ( $E_m\!>\!E_n$, por eso decae) mediante la emisión de un fotón cuya energía es $$h\nu = E_m - E_n \;.$$

Teniendo en cuenta solo la interacción coulombiana (la gravitatoria es 10$^{-40}$ veces menor), a partir de $L\!=\!n\hbar$ puede obtenerse el radio de la órbita $n$-ésima y la velocidad lineal en esa órbita (ejercicio) para el caso del átomo de hidrógeno, es decir con un solo protón en el núcleo:

$$r_n = \left(\frac{4\pi\epsilon_o\hbar^2}{m_e e^2}\right) n^2 = n^2 a_o \qquad v_n = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_o}\frac{1}{n\hbar} \;,$$

donde $\epsilon_o\,$ es la constante dieléctrica en el vacío, $e$, la carga del electrón y $a_o\!=\!0,053$ nm es el radio de Bohr (igual al radio de la primera órbita). En el átomo de hidrógeno, como la masa del protón es mucho mayor que la del electrón, puede pensarse que el protón no se mueve (la masa reducida de este sistema es muy parecida a $m_e$), de modo que

$$E_n = \frac{1}{2}m_e v_n^2 - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_o r_n} = -\... ...c{m_e\,e^4}{2\hbar^2 (4\pi\epsilon_o)^2}\frac{1}{n^2} = -\frac{\cal R}{n^2}\;,$$

donde hemos introducido la constante de Rydberg ${\cal R}\!=\!13,6$ eV (=$E_1$). Estas “energías de Bohr” corresponden a estados ligados, y por eso sus valores son negativos.

De este modo el estado fundamental (de menor energía) se da para $n\!=\!1$, en cuyo caso $r_1\!=\!a_o\,$ y $E_1\!=\!-\cal R$. Cualquier estado con $n\!>\!1$ es un estado excitado del átomo, con $E_n\!>\!E_1$ (aunque no en valor absoluto). Los estados con $E\!>\!0$ corresponden a estados no ligados, en los que el átomo queda ionizado. Todos los cálculos previos pueden reproducirse para los átomos hidrogenoides, es decir un electrón orbitando alrededor de un núcleo con $Z\,$ protones: en este caso debemos considerar la interacción coulombiana de una carga $-e\,$ con $+Ze$, resultando

$$r_n = \frac{a_o}{Z} n^2$$   y$$\qquad E_n = -\frac{Z^2\cal R}{n^2} \;.$$

La condición de cuantización de Bohr puede asociarse con la hipótesis de de Broglie, ya que la circunferencia con radio $r_n\,$ contiene exactamente

$$\displaystyle n\lambda_n = n \frac{h}{m_e v_n}$$   (ejercicio),

complementando la idea de órbitas estacionarias.

El gran mérito del modelo atómico de Bohr es predecir correctamente la definición de las líneas espectrales emitidas: cuando se somete un gas a una descarga eléctrica (o a una llama), la radiación emitida consiste en unas líneas brillantes (de cierto color) con regiones negras entre ellas. Como $E_n\!=\!-{\cal R}/n^2$, cuando un electrón decae del estado $m\,$ al $n\,$ libera un cuanto de radiación con energía

$$h\nu = {\cal R} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right) \;.$$

Las emisiones de radiación asociadas con decaimientos hacia el estado fundamental ($n\!=\!1$) conforman la serie de Lyman, en el espectro ultravioleta; los decaimientos hacia $n\!=\!2$ integran la serie de Balmer, con longitudes de onda en el visible; la serie de Paschen corresponde a decaimientos hacia $n\!=\!3$ y son emisiones con energías en el infrarrojo. En lugar de continuar hasta $n\!=\!74$, avancemos y apresuremos nuestro encuentro con el futuro.