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^a

Nature, 1999.

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Phys. Rev. Lett., 2003.

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...\space ^c

Ejercicio: demostrar que una inhomogeneidad en la ecuación de Schrödinger hace perder la condición de normalización que se impone para $\psi(\bm{r},t)$

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....^d

A menudo relajamos la notación diciendo que cuando un operador es hermitiano se cumple $\hat{A}^\dagger=\hat{A}\,$, aunque esto solo es válido para operadores autoadjuntos, cuyo dominio de definición suele ser mayor que el de los operadores hermitianos. Solo con esa restricción en mente diremos que los operadores (anti)hermitianos cumplen $\hat{A}^\dagger=(-)\hat{A}\,$.

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... reales^e

Análogamente, los autovalores de un operador antihermitiano son imaginarios (otro ejercicio).

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...\space ^f

En la identidad $e^{\hat{A}}\hat{B}\,e^{-\hat{A}}=\hat{B}+[\hat{A},\hat{B}]+\frac{1}{2!}[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]+\frac{1}{3!}[\hat{A},[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]]+\cdots$ tomamos $\hat{A}\!=\!-\alpha\,\hat{a}^\dagger$ y $\hat{B}\!=\!\hat{a}^\dagger$, y notamos que en este caso $[\hat{A},\hat{B}]\!=\!\alpha\,\hat{I}$

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