Momento angular (basado en Merzbacher, Zettili, Griffiths, Shankar, etc.)

Al igual que en la mecánica clásica, el momento angular reviste una gran importancia en la cuántica. Su conocimiento nos permite también en esta área aprovechar las ventajas que ofrecen problemas con simetrías de rotación, que justamente aparecen en sistemas moleculares, atómicos y nucleares.

A partir del principio de correspondencia, el momento angular orbital para una partícula queda definido por

$$\hat{\bm{L}} = \hat{\bm{r}}\times\hat{\bm{p}} = -i\hbar\,\hat{\bm{r}}\times\nabla \;,$$

o bien, en coordenadas cartesianas

$$\hat{L}_j = \varepsilon_{jk\ell}\, \hat{x}_k\, \hat{p}_\ell \;,$$

donde nos valemos de la convención de suma implícita para índices repetidos, y utilizamos el tensor completamente antisimétrico (Levi-Civita)

$$\varepsilon_{jk\ell} = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 && \mbox{si... ...par de $x,y,z$}\\ 0 && \mbox{en cualquier otro caso}\\ \end{array} \right.$$

A partir de estas expresiones es directo verificar las relaciones de conmutación

$$[\hat{L}_j,\hat{L}_k]=i\hbar\,\varepsilon_{jk\ell}\,\hat{L}_\ell\... ...ell\;, \qquad [\hat{L}_j,\hat{p}_k]=i\hbar\,\varepsilon_{jk\ell}\,\hat{p}_\ell$$   (ejercicio).

Si bien acostumbramos a mostrar estas identidades en la base coordenada, es importante recordar que valen como operadores, es decir, independientemente de la representación que elijamos.

Las relaciones anteriores deben ser válidas para cualquier momento angular $\hat{\bm{J}~}\!$ —no solo para el orbital, asociado con la traslación de una partícula. A menudo las relaciones de conmutación entre las componentes de $\hat{\bm{J}~}$ se resumen como

$$\hat{\bm{J}~} \!\times \hat{\bm{J}~} = i\hbar\, \hat{\bm{J}~} .$$

Las componentes $\hat{J_x}$, $\hat{J_y}\,$ y $\hat{J_z}\,$ no conmutan entre sí, por lo cual no pueden diagonalizarse simultáneamente. En cambio el operador escalar

$$\hat{J^2} = \hat{J_x^2} + \hat{J_y^2} + \hat{J_z^2}$$

conmuta con cualquiera de las componentes:

$$[\hat{J^2},\hat{J_k}]=0 \qquad (k=x,y,z) \;.$$

Es directo demostrar que todos estos operadores son hermitianos (ejercicio). Podemos elegir diagonalizar simultáneamente $\hat{J^2}\,$ y alguna de las componentes $\hat{J_k}\,$; por convención, elegimos $\hat{J_z}\,$. Identificamos los autovalores de $\hat{J^2}\,$ con el parámetro $\alpha\,$, mientras que para los de $\hat{J_z}\,$ utilizamos $\beta\,$; entonces señalamos como $\vert\alpha,\beta\rangle\,$ los estados cuánticos de un sistema —con respecto a estos dos operadores. Podemos escribir las correspondientes ecuaciones de autovalores como

$$\hat{J^2}\,\vert\alpha,\beta\rangle = \hbar^2\alpha\, \vert\alpha... ...\hat{J_z}\,\vert\alpha,\beta\rangle = \hbar\beta\, \vert\alpha,\beta\rangle\;,$$

donde las respectivas constantes $\hbar^2\,$ y $\hbar\,$ se introducen por comodidad, de manera que $\alpha\,$ y $\beta\,$ sean adimensionales. Como siempre, tomamos los estados $\vert\alpha,\beta\rangle\,$ ortonormales:

$$\langle\alpha',\beta'\vert\alpha,\beta\rangle = \delta_{\alpha'\alpha}\, \delta_{\beta'\beta} \;.$$

La simetría de las relaciones de conmutación sugiere introducir —de manera semejante al desarrollo para el oscilador armónico— los operadores $\hat{\,J_+}\,$ (“subidor”) y $\hat{\,J_-}\,$ (“bajador”)^g, definidos como

$$\hat{\,J_{\pm}} = \hat{J_x} \pm i\,\hat{J_y} \;,$$

de donde

$$\hat{J_x} = \frac{\hat{\,J_+}+\hat{\,J_-}}{2} \;,\qquad \hat{J_y} = \frac{\hat{\,J_+}-\hat{\,J_-}}{2i} \;.$$

Resulta directo mostrar las relaciones (ejercicio)

$$[\hat{J^2},\hat{\,J_\pm}] = 0 \;,\qquad [\hat{\,J_+},\hat{\,J_-}... ...,\hat{J_z} \;, \qquad [\hat{J_z},\hat{\,J_\pm}] = \pm\hbar\,\hat{\,J_\pm} \;,$$

y también (ejercicio también)

$$\hat{\,J_+}\hat{\,J_-} = \hat{J_x^2} + \hat{J_y^2} + \hbar\,\hat{J_z} = \hat{J^2} - \hat{J_z^2} + \hbar\,\hat{J_z}$$

$$\hat{\,J_-}\hat{\,J_+} = \hat{J_x^2} + \hat{J_y^2} - \hbar\,\hat{J_z} = \hat{J^2} - \hat{J_z^2} - \hbar\,\hat{J_z} \;,$$

de donde

$$\hat{J^2} = \hat{\,J_\pm}\hat{\,J_\mp} + \hat{J_z^2} \mp \hbar\,\... ...}{2}\left(\hat{\,J_+}\hat{\,J_-}+\hat{\,J_-}\hat{\,J_+}\right)+\hat{J_z^2} \;.$$

Estas identidades nos permiten ver cómo actúan $\hat{\,J_\pm}\,$ sobre los autovectores $\vert\alpha,\beta\rangle\,$. Por ejemplo, si aplicamos $\hat{J_z}\,$ sobre el ket $\hat{\,J_\pm}\vert\alpha,\beta\rangle\,$,

$$\hat{J_z}\left(\hat{\,J_\pm}\vert\alpha,\beta\rangle\right) = \l... ...rangle = \hbar(\beta\pm 1) \left(\hat{\,J_\pm}\vert\alpha,\beta\rangle\right)$$

vemos que $\left(\!\hat{\,J_\pm}\vert\alpha,\beta\rangle\right)$ es también autoestado de $\hat{J_z}\,$, con autovalor $\hbar(\beta\pm 1)$. Análogamente

$$\hat{J^2}\left(\!\hat{\,J_\pm}\vert\alpha,\beta\rangle\right) = ... ...angle = \hbar^2\alpha\left(\!\hat{\,J_\pm}\vert\alpha,\beta\rangle\right) \;,$$

lo que significa que $\hat{\,J_\pm}\,$ no afecta el número cuántico $\alpha\,$. Podemos resumir estas dos condiciones como

$$\hat{\,J_\pm}\vert\alpha,\beta\rangle = C_{\alpha\beta}^{\pm}\,\vert\alpha,\beta\pm 1\rangle \;,$$ (29)

donde $C_{\alpha\beta}^{\pm}\,$ es una constante de normalización.

A partir de estos resultados pueden inferirse varias conclusiones acerca de los autovalores $\alpha\,$ y $\beta$. Por ejemplo, como $\hat{J^2}\,$ es un operador definido positivo, es decir

$$\langle\alpha,\beta\vert\hat{J^2}\vert\alpha,\beta\rangle = \hbar... ...ert^2 + \Vert\hat{J_z}\left\vert \alpha,\beta \right\rangle \Vert^2 \ge 0 \;,$$

debe cumplirse

$$\alpha \ge 0 \;.$$

Por otro lado,

$$\langle\alpha,\beta\vert\left(\hat{J^2}-\hat{J_z^2}\right)\vert\a... ...\Vert^2 + \Vert\hat{J_y}\left\vert \alpha,\beta \right\rangle \Vert^2 \ge 0\;,$$

de donde concluimos que hay una cota superior para el valor absoluto de los autovalores de $\hat{L_z}$

$$\beta^2 \le \alpha \;.$$

Entonces habrá un $\beta_{\rm m\acute{a}x}\,$ para el cual $\hat{\,J_+}\vert\alpha,\beta_{\rm m\acute{a}x}\rangle$=0, porque no puede seguir subiendo el valor de $\beta$. Esto significa que al aplicar $\hat{\,J_-}\hat{\,J_+}\,$ sobre $\vert\alpha,\beta_{\rm m\acute{a}x}\rangle\,$ tendremos

$$0 = \hat{\,J_-}\hat{\,J_+}\vert\alpha,\beta_{\rm m\acute{a}x}\ran... ...\beta_{\rm m\acute{a}x}\right) \vert\alpha,\beta_{\rm m\acute{a}x}\rangle \;,$$

es decir

$$\alpha = \beta_{\rm m\acute{a}x}\,(\beta_{\rm m\acute{a}x}+1) \;.$$

Un razonamiento similar nos conduce a que habrá una cota inferior $\beta_{\rm m\acute{\i}n}\,$, y de manera análoga, al aplicar $\hat{\,J_-}\,$ sobre ese estado obtenemos el vector nulo; por lo tanto la aplicación de $\hat{\,J_+}\hat{\,J_-}\,$ sobre $\vert\alpha,\beta_{\rm m\acute{\i}n}\rangle\,$ nos lleva a

$$\alpha = \beta_{\rm m\acute{\i}n}\,(\beta_{\rm m\acute{\i}n}-1) \;.$$

Comparando con la expresión anterior, debe cumplirse

$$\beta_{\rm m\acute{\i}n} = -\beta_{\rm m\acute{a}x} \;.$$

Si aplicamos sucesivamente $\hat{\,J_-}\,$ a $\vert\alpha,\beta_{\rm m\acute{a}x}\rangle\,$ en algún momento habremos llegado al mínimo valor $\beta_{\rm m\acute{\i}n}\,$; llamando $n\,$ al número de veces que es necesaria esta operación, relacionamos ambos valores extremos

$$\beta_{\rm m\acute{\i}n}+n = \beta_{\rm m\acute{a}x} \;.$$

Combinando las condiciones anteriores, concluimos que

$$\beta_{\rm m\acute{a}x} = \frac{n}{2} \equiv j \;,$$

donde $j\,$ será entonces un número entero o semientero (no negativo, recuérdalo). Sintetizando,

$$\alpha = j\,(j+1)$$   y$$\qquad \beta = m = -j,-j+1,\dots,j-1,j$$

y las ecuaciones de autovalores (adecuando la notación $\left\vert \alpha,\beta \right\rangle \to\left\vert j,m \right\rangle$)

$$\fbox{\ \ $\hat{J^2} \vert j,m\rangle = \hbar^2\,j\,(j+1)\,\vert ... ...-j \le m \le j\quad \mbox{(entero o semientero)}. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$

Volviendo a la relación (28), que ahora escribimos

$$\hat{\,J_\pm}\vert j,m\rangle = C_{jm}^{\pm}\,\vert j,m\pm 1\rangle \;,$$

planteamos ahora la condición de normalización, por ejemplo para $\big(\hat{\,J_+}\vert j,m\rangle\big)$

$$\big(\langle j,m\vert\hat{\,J_+}\!^\dagger\big) \bigl\vert \big(\hat{\,J_+}\vert j,m\rangle\big) = \vert C_{jm}\vert^2 \;.$$

Recordando que $\hat{\,J_+}\!^\dagger\!=\!\hat{\,J_-}\,$,

$$\vert C_{jm}^+\vert^2=\langle j,m\vert\hat{\,J_-}\hat{\,J_+}\vert... ...+1)] \qquad \Rightarrow \qquad C_{jm}^+ = \hbar\,\sqrt{j\,(j+1)-m\,(m+1)} \;,$$

donde descartamos la fase ya que es arbitraria. Del mismo modo para el caso de aplicar $\hat{\,J_-}\,$ encontramos

$$C_{jm}^- = \hbar\,\sqrt{j\,(j+1)-m\,(m-1)} \;.$$

La acción de $\hat{\,J_\pm}\,$ sobre $\vert j,m\rangle\,$ se resume entonces como

$$\hat{\,J_\pm}\vert j,m\rangle = \hbar\,\sqrt{j\,(j+1)-m\,(m\pm 1)}\,\vert j,m\pm 1\rangle \;,$$ (30)

o bien

$$\hat{\,J_\pm}\vert j,m\rangle = \hbar\,\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}\,\vert j,m\pm 1\rangle \;,$$

Esto nos permite a su vez evaluar los valores de expectación para las componentes $\hat{J_x}\,$ y $\hat{J_y}\,$

$$\hat{J_x}\vert j,m\rangle = \frac{1}{2} \left(\hat{J_+}+\hat{J_-}... ...j+m+1)}\,\vert j,m+1\rangle + \sqrt{(j+m)(j-m+1)}\,\vert j,m-1\rangle \right] ,$$

$$\hat{J_y}\vert j,m\rangle = \frac{1}{2i} \left(\hat{J_+}-\hat{J_-... ...,m+1\rangle - \sqrt{(j+m)(j-m+1)}\,\vert j,m-1\rangle \right] . \rule{0em}{2em}$$

Como los $\{\vert j,m\rangle\}$ conforman una base ortonormal, en cualquier estado $\vert j,m\rangle\,$ se cumple entonces

$$\langle\hat{J_x}\rangle = \langle\hat{J_y}\rangle = 0 \;,$$

es decir que en los estados para los cuales están perfectamente definidos $\langle\hat{J^2}\rangle\,$ y $\langle\hat{J_z}\rangle\,$ (sus autovectores), las componentes $\langle\hat{J_x}\rangle\,$ y $\langle\hat{J_y}\rangle\,$ están absolutamente indeterminadas. En virtud de que los $\vert j,m\rangle\,$ son autoestados de $\langle\hat{J^2}\rangle\,$ y $\langle\hat{J_z}\rangle\,$ sabemos que los valores de expectación para el módulo de $\hat{\bm{J}~}$ y $\hat{J_z}\,$ son

 

$$\hspace{6em} \sqrt{\langle\hat{J^2}\rangle} = \hbar\sqrt{j\,(j+1)}$$   y$$\qquad \langle\hat{J_z}\rangle = \hbar\, m \;.$$ Entonces la cuantización del momento angular se traduce en primer lugar en el hecho de que solo algunos valores estarán permitidos al medir el módulo de $\hat{\bm{J}~}$ y lo mismo ocurrirá al determinar la proyección $\hat{J_z}\,$ sobre el eje $z$; pero a su vez esto implica que cualquier determinación experimental de $\hat{J_x}\,$ o de $\hat{J_y}\,$ en promedio resultará 0, aun cuando el valor de expectación de $\hat{J_x^2}+\hat{J_y^2}\,$ está bien definido. A menudo suele recurrirse a una visualización semiclásica, que sugiere que el vector momento angular rota alrededor del eje $z\,$, en un cono de apertura fija; de este modo tanto $\langle\hat{J^2}\rangle\,$ como $\langle\hat{J_z}\rangle\,$ están perfectamente definidos, mientras que el valor de expectación sobre el plano $x$-$y\,$ tendría módulo fijo. En el esquema de la figura se representa el caso para $j\!=\!2$, es decir $\hbar\sqrt{6}\,$ para el módulo de $\hat{\bm{J}~}$.