Rotaciones y momento angular

Al escribir las componentes del momento angular orbital en esféricas, la expresión (30)

$$\hat{L}_z = -i\hbar\displaystyle \frac{\partial~}{\partial\varphi} \;.$$

había atraído notoriamente nuestra atención, no solo por su simplicidad, sino porque habíamos encontrado reminiscencias de la expresión que relaciona $p_x\,$ con la coordenada $x$. Del mismo modo que en la sección §4.5, veremos a continuación que el generador de rotaciones, alrededor del eje $z\,$ en particular, es $-\hat{L}_z/\hbar\,$. Para ello pensamos en el efecto que debe tener el operador que impone rotaciones infinitesimales de magnitud $\delta\varphi\,$ en un estado arbitrario $\left\vert \psi \right\rangle$ descripto en la base de coordenadas esféricas:

$$\hat{U}_{\delta\varphi}\,\psi(r,\theta,\varphi) \, \to \, \psi(r,\theta,\varphi+\delta\varphi) \;.$$

Al rotar el sistema en el estado $\left\vert \psi \right\rangle$, cada una de las componentes de este vector en el espacio de Hilbert se llevan “hacia delante” un ángulo $\delta\varphi$, de modo que si analizamos lo que queda en el casillero $(r,\theta,\varphi)$, allí encontramos lo que fue traído desde $(r,\theta,\varphi-\delta\varphi)$, es decir

$$\left\langle r,\theta,\varphi \right\vert\left(\hat{U}_{\delta\varphi}\left\vert \psi \right\rangle \right) = \, \psi(r,\theta,\varphi-\delta\varphi) = \psi(r,\theta,\varphi) ... ...rphi} = \psi(r,\theta,\varphi) - \frac{i}{\hbar}\delta\varphi\, \hat{L}_z\,\psi$$

$$= \left( \hat{I} - \frac{i}{\hbar}\delta\varphi\, \hat{L}_z \right) \psi(r,\theta,\varphi) \;,$$

es decir

$$\hat{U}_{\delta\varphi} = \hat{I} - \frac{i}{\hbar}\delta\varphi\, \hat{L}_z \;.$$

En el caso de una rotación finita, siguiendo el mismo razonamiento de nuestros días de gloria, tendremos

$$\hat{U}_{\varphi} = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $i$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\varphi\hat{L}_z} \,.$$

A menudo se suele condensar la notación escribiendo el vector $\bm{\varphi}=\varphi\,\bm{\hat{k}}\,$ para indicar la rotación alrededor de un vector unitario —en este caso $\bm{\hat{k}}\,$— siguiendo la regla de la mano derecha para el sentido de giro; para nuestro ejemplo entonces

$$\hat{U}_{\boldsymbol{\varphi}} = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $i$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\boldsymbol{\varphi}\cdot\hat{\boldsymbol{L}}} \,.$$

Claramente la elección del eje de rotación es arbitraria, de modo que esta relación se mantiene para cualquier rotación $\bm{\alpha}$= $\alpha\bm{\hat{n}}\,$ alrededor de un vector unitario $\bm{\hat{n}}\,$

$$\hat{U}_{\boldsymbol{\alpha}} = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $i$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\boldsymbol{L}}} \,.$$

En virtud de que las componentes de $\hat{\bm{L}}\,$ son hermitianas, $\hat{U}_{\boldsymbol{\alpha}}\,$ será naturalmente un operador unitario. Para ver cómo se transforman los operadores ante estas transformaciones unitarias que son las rotaciones, definimos $\psi'(\boldsymbol{r})=\hat{U}_{\boldsymbol{\alpha}}\psi(\boldsymbol{r})$, y a partir de la relación

$$\hat{U}_{\boldsymbol{\alpha}}\left(\hat{A}\,\psi(\bm{r})\right) = \hat{A}'\,\psi'(\bm{r})$$

seguimos el procedimiento de intercalar $\hat{U}_{\boldsymbol{\alpha}}^\dagger\,\hat{U}\rule[-0.2em]{0em}{0em}_{\!\boldsymbol{\alpha}}=\hat{I}\,$ entre $\hat{A}\,$ y $\psi(\bm{r})\,$

$$\left( \hat{U}\rule[-0.2em]{0em}{0em}_{\!\boldsymbol{\alpha}}\,\h... ...0em}_{\!\boldsymbol{\alpha}}\psi(\bm{r})\right) = \hat{A}'\,\psi(\bm{r'}) \;,$$

de manera que, como habíamos señalado en §3.5, el operador $\hat{A}\,$ en el sistema rotado se escribe

$$\hat{A}' = \hat{U}\rule[-0.2em]{0em}{0em}_{\!\boldsymbol{\alpha}}\,\hat{A}\,\hat{U}_{\boldsymbol{\alpha}}^\dagger \;.$$

Si $\hat{U}\,$ corresponde a una rotación infinitesimal arbitraria

$$\hat{U}_{\boldsymbol{\delta\alpha}} = \left( \hat{I} - \frac{i}{\hbar}\boldsymbol{\delta\alpha}\cdot\hat{\bm{L}} \right) \;,$$ (32)

desarrollando hasta el primer orden obtenemos (ejercicio)

$$\hat{A}' = \hat{A} - \frac{i}{\hbar} \delta\alpha_j\, [\hat{L}_j,\hat{A}] \;,$$ (33)

donde recurrimos a la convención de suma implícita cuando escribimos índices repetidos.

Los operadores escalares son invariantes ante rotaciones, es decir $\hat{A}'=\hat{A}\,$, lo que según (32) implica

$$[\hat{L}_j,\hat{A}] = 0 \;, \qquad j=1,2,3 \;.$$

Son ejemplos de operadores escalares $\hat{L}^2\,$, $\hat{p}^2\,$ y cuando una partícula evoluciona en un potencial central $V(r)$, también es un operador escalar el hamiltoniano $\hat{H}=\hat{p}^2/(2m)+V(r)\,$ (ejercicios).

Un operador $\bm{\hat{A}}$ de tres componentes es un operador vectorial si ante rotaciones sus valores de expectación se transforman como un vector de $\mathbb{R}^3$. Para una rotación infinitesimal arbitraria (31) en $\boldsymbol{\delta\alpha}$, tomando $\left\vert \psi' \right\rangle \!=\!\hat{U}_{\boldsymbol{\delta\alpha}}\left\vert \psi \right\rangle$ debe entonces cumplirse

$$\left\langle \psi' \right\vert\bm{\hat{A}}\left\vert \psi' \right... ...times \left\langle \psi \right\vert\bm{\hat{A}}\left\vert \psi \right\rangle .$$

Esta relación debe cumplirse para cualquier $\left\vert \psi \right\rangle$, de manera que para las componentes $\hat{A}_j$ esta identidad implica

$$\left( \hat{I} + \frac{i}{\hbar}\delta\alpha_j\hat{L}_j \right) \... ...ll \right) = \hat{A}_k + \varepsilon_{kj\ell}\,\delta\alpha_j\hat{A}_\ell \;,$$

es decir,

$$\frac{i}{\hbar}\left[\hat{L}_j,\hat{A}_k\right]\delta\alpha_j = \varepsilon_{kj\ell}\,\delta\alpha_j\hat{A}_\ell \;,$$

Teniendo en cuenta que esto debe valer para $\delta\bm{\alpha}$ arbitrario, entonces un operador es vectorial cuando sus componentes cumplen la condición

$$[\hat{A}_j,\hat{L}_k] = i\hbar\,\varepsilon_{jk\ell}\,\hat{A}_\ell \;.$$

Es directo verificar que los operadores $\hat{\bm{L}}\,$, $\hat{\bm{r}}\,$ y $\hat{\bm{p}}\,$ son ejemplos de operadores vectoriales.

En muchas situaciones resulta útil representar matricialmente los operadores momento angular. Como siempre, pensamos los kets $\vert j,m\rangle\,$ como vectores columna, y para construir las matrices correspondientes notamos que para cada autovalor de $\hat{J}^2\,$ ($j$) tenemos un subespacio de Hilbert asociado, en el cual la relación de completitud se expresa

$$\sum_{m=-j}^{m=j} \vert j,m\rangle \langle j,m\vert = \hat{I} \;.$$

Los elementos de matriz de $\hat{J}^2\,$ y $\hat{J}_z\,$ se obtienen directamente, pues

$$\langle j',m'\vert\hat{J}^2\vert j,m\rangle = \hbar^2 j(j+1)\,\de... ...j',m'\vert\hat{J}_z\vert j,m\rangle = \hbar m\,\delta_{j',j}\,\delta_{m',m}\;.$$

Este resultado es obvio, ya que el problema de autovalores nos llevó a encontrar un conjunto completo de autovectores, y al mismo tiempo diagonalizamos los operadores $\hat{J}^2\,$ y $\hat{J}_z\,$.

También vimos algo sobre los elementos de matriz de $\hat{J}_\pm\,$: según (29) tienen ceros en la diagonal y elementos no nulos en las primeras subdiagonales. Algo similar ocurre con $\hat{J}_x\,$ y $\hat{J}_y\,$, pues son combinaciones de $\hat{J}_\pm\,$:

$$\langle j',m'\vert\hat{J}_x\vert j,m\rangle = \frac{\hbar}{2} \left[ \sqrt{j(j+1)-m(m+1)}\,\delta_{m',m+1} + \sqrt{j(j+1)-m(m-1)}\,\delta_{m',m-1} \right] \delta_{j',j} \;,$$

$$\langle j',m'\vert\hat{J}_y\vert j,m\rangle = \frac{\hbar}{2i} \left[ \sqrt{j(j+1)-m(m+1)}\,\delta_{m',m+1} - \sqrt{j(j+1)-m(m-1)}\,\delta_{m',m-1} \right] \delta_{j',j} \;.$$