Problemas en tres dimensiones (basado en Merzbacher, Zettili, Griffiths, Shankar)

Como vimos anteriormente, la ecuación de Schrödinger en 3 dimensiones

$$-\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2\Psi(\bm{r},t) + V(\bm{r})\,\Psi(\bm{r},t) = i\hbar \frac{\partial\Psi(\bm{r},t)}{\partial t}$$

es separable, y la evolución temporal puede escribirse a partir de las soluciones estacionarias $\psi(\bm{r})\,$. En el caso en que la simetría sea adecuada para utilizar coordenadas cartesianas se puede expresar el potencial como

$$V(\bm{r}) = V_x(x) + V_y(y) + V_z(z) \;,$$

y como en la energía cinética interviene

$$\hat{p}^2 = \hat{p}_x^2 + \hat{p}_y^2 + \hat{p}_z^2 \;,$$

la solución del problema se torna naturalmente separable; entonces, proponiendo

$$\psi(\bm{r}) = X(x)\,Y(y)\,Z(z)$$

llegamos a una ecuación diferencial para cada componente

$$-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} + V_x(x)\,X(x) = E_x\,X(x)$$

(análogamente para $Y(y)\,$ y $Z(z)$). Los autovalores para la energía de nuestro sistema serán

$$E = E_x + E_y + E_z \;,$$

de manera que en este caso tendremos tres problemas independientes en una dimensión, y solo se complementan para determinar los autovalores $E$. Este es el caso de una partícula libre, cuya solución en una dimensión ya hemos dominado con destreza e hidalguía, y en tres dimensiones resulta

$$\psi(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ik_x x}\, \frac{1}{\sqrt{2\... ...^{ik_z z} = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}} \;.$$

Otro ejemplo en esta simetría es el pozo de potencial cartesiano, para el cual podemos separar la solución en cada coordenada, como habíamos hecho en el capítulo 4. Y también se enmarca en este contexto el oscilador armónico isotrópico de masa $\mu\,$ y frecuencia $\omega\,$, para el cual

$$V(\bm{r}) = V(r) = \frac{\mu\omega^2}{2}r^2 = \frac{\mu\omega^2}{2}(x^2+y^2+z^2) \;.$$

Cada grado de libertad contribuye con un oscilador unidimensional independiente, para el cual ya conocemos las soluciones, de modo que las autoenergías pueden escribirse como

$$E_n = \hbar\omega\left(n+\frac{3}{2}\right) \;,$$

donde $n\,$ es un entero no negativo, que resulta de sumar los tres números cuánticos de los respectivos osciladores; puede mostrarse que la degeneración de cada energía es

$$\rule{13em}{0em} g_n = \frac{(n+1)(n+2)}{2} \rule{10em}{0em}$$(ejercicio).

El oscilador armónico isotrópico es también un ejemplo de potencial central, es decir con simetría de rotación. En estos casos se pone en evidencia la utilidad de los desarrollos anteriores acerca de las autofunciones de $\hat{L}^2\,$ (y $\hat{L}_z\,$), en particular porque como anticipamos, $[\hat{H},\hat{L}^2]\!=\!0$.