El átomo de hidrógeno

Un electrón interactuando con un protón en un átomo de hidrógeno puede describirse como un problema de dos cuerpos, separando el movimiento del centro de masa del movimiento relativo entre ellas. Como la masa del protón es 1835 veces mayor que la del electrón, el centro de masa prácticamente coincide con la posición del protón, mientras que la masa reducida del sistema es casi idéntica a la del electrón. Por este motivo, lo habitual es ignorar el movimiento del átomo como un todo y solo considerar el electrón bajo la acción de un potencial central. El campo coulombiano sobre el electrón es $V(r)\!=\!-e^2/r\,$, donde $e\,$ es la carga del electrón y $r\,$, la distancia entre ambas partículas. La ecuación radial reducida se escribe entonces

$$\left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{\,{\rm d}^2~}{\,{\rm d}r^2} + ... ...ac{\hbar^2\,\ell(\ell+1)}{2\mu r^2} - \frac{e^2}{r} \right] u(r) = E\,u(r) \;.$$

Para estudiar los estados ligados ($E\!<\!0$), el análisis de las tendencias asintóticas (ejercicio) nos lleva a proponer la solución

$$u(\rho) = \rho^{\ell+1} e^{-\rho} w(\rho) \;,$$

donde definimos $\rho\!=\!\gamma\,r$, con $\gamma\!=\!\sqrt{-2\mu E}/\hbar$. Con esta sustitución se llega a la ecuación diferencial de Laguerre para $w(\rho)$, donde las soluciones válidas para el orden $N\,$ de los polinomios asociados de Laguerre impone una condición sobre los valores de $E\,$ posibles

$$\gamma = \frac{\sqrt{-2\mu E}}{\hbar} = \frac{\mu e^2}{\hbar^2(N+... ... \qquad \Rightarrow \qquad E_n = - \frac{\mu e^4}{2\hbar^2} \frac{1}{n^2} \;.$$

El número cuántico radial $N\,$ nos permite definir el número cuántico principal $n\!=\!N+\ell+1$. Los valores permitidos para el momento angular correspondientes a cada valor de $n\,$ son

$$\ell = 0,1,2,\dots,n-1 \;,$$   es decir, $n\,$ valores posibles,

mientras que para cada $\ell\,$ ya sabíamos que hay $2\ell\!+\!1$ valores posibles de $m$; entonces la degeneración correspondiente a cada valor de $E_n\,$ es

$$g_n = \sum_{\ell=0}^{n-1} (2\ell+1) = 2\frac{(n-1)n}{2}+n = n^2 \;.$$

Vale la pena enfatizar que a pesar de que en la ecuación radial aparece el número cuántico orbital e incide sobre las soluciones radiales, las autoenergías no dependen de $\ell\,$. Las funciones radiales quedan entonces

$$R_{n\ell}(r) = \frac{u_{n\ell}(r)}{r} = -\sqrt{\frac{(n-\ell-1)!... ...3}} (2\,\gamma\,r)^\ell\, e^{-\gamma\,r}\, L_{n+\ell}^{2\ell+1}(2\,\gamma\,r)$$

(como habíamos previsto, no dependen del número cuántico $m\,$). Recordemos que los polinomios asociados de Laguerre $L_q^s(x)\,$, en el caso en que $s\,$ es entero, se obtienen derivando los polinomios de Laguerre $L_q(x)\,$

$$L_q^s(x) = \frac{\,{\rm d}^s}{\,{\rm d}x^s} L_q(x) \;,$$

y también pueden obtenerse mediante la relación^h

$$L_q^s(x) = \frac{\,{\rm d}^s~}{\,{\rm d}x^s} \left( e^x \frac{\,{\rm d}^q}{\,{\rm d}x^q}\, e^{-x}x^q \right) \;.$$

Aquí se pone en evidencia que el orden de los polinomios que intervienen en la función de onda radial es $n-\ell-1\!=\!N$. A partir de las propiedades de los $L_{n+\ell}^{2\ell+1}$, inferimos que las funciones $R_{n\ell}\,$ tienen $n-\ell-1\,$ nodos con $r\!>\!0$.

Las autoenergías suelen escribirse en términos del radio de Bohr

$$a_o = \frac{\hbar^2}{\mu e^2} = 0,529\times10^{-8}\,$$cm$$= 0,529\,$$Å$$\;,$$

o bien de la constante de estructura fina de Sommerfeld (adimensional)

$$\alpha = \frac{e^2}{\hbar c} = \frac{1}{137,037} \;,$$

es decir

$$E_n=-\frac{e^2}{2 a_o n^2}=-\frac{\mu c^2}{2}\frac{\alpha^2}{n^2}=-\frac{\mu e^4}{2\hbar^2n^2}\;.$$

A partir de las autofunciones $\psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)\!=\!R_{n\ell}(r)\,Y_\ell^m(\theta,\varphi)\,$ puede computarse la probabilidad de hallar al electrón en un entorno d $r, \,{\rm d}\Omega\,$ centrado en $(r,\theta,\varphi)\,$ como $\vert\psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)\vert^2\, r^2 \,{\rm d}r \,{\rm d}\Omega$. Las primeras funciones radiales para un átomo hidrogenoide con $Z\,$ protones en su núcleo son:

$$n=1 \;,\quad \ell=0 : \mbox{capa $K$, orbital } s\;, \qquad R_{10}(r) = 2\left(\frac{Z}{a_o}\right)^{3/2} e^{-Zr/a_o}$$

$$n=2 \;,\quad \ell=0 : \mbox{capa $L$, orbital } s\;, \qquad R_{20}(r) = 2\left(\frac{Z}{2a_o}\right)^{3/2} \left(1-\frac{Zr}{2a_o}\right)e^{-Zr/(2a_o)}$$

$$\ell=1 : \mbox{capa $L$, orbitales } p\;, \quad R_{21}(r) = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{Z}{2a_o}\right)^{3/2} \frac{Zr}{a_o}\,e^{-Zr/(2a_o)}$$

$$n=3 \;,\quad \ell=0 : \mbox{capa $M$, orbital } s\;, \qquad R_{30}(r) = 2\left(\frac{Z}{3a_o}\right)^{3/2} \left[1-\frac{2Zr}{3a_o}+\frac{2(Zr)^2}{27a_o^2}\right]e^{-Zr/(3a_o)}$$

$$\ell=1 : \mbox{capa $M$, orbitales } p\;, \qquad R_{31}(r) = \frac{4\sqrt{2}}{3}\left(\frac{Z}{3a_o}\right)^{3/2} \frac{Z}{3a_o}\left(1-\frac{Zr}{6a_o}\right)e^{-Zr/(3a_o)}$$

$$\ell=2 : \mbox{capa $M$, orbitales } d\;, \qquad R_{32}(r) = \frac{2\sqrt{2}}{27\sqrt{5}}\left(\frac{Z}{3a_o}\right)^{3/2} \left(\frac{Zr}{a_o}\right)^2 e^{-Zr/(3a_o)}$$