Efecto de campos magnéticos en un potencial central

Consideramos ahora una partícula de masa $\mu\,$ y carga $q\,$ sometida a un potencial central $V(r)\,$ y además a un campo magnético $\bm{B}\,$ uniforme. Como sabemos de la clásica, podemos escribir el potencial vector

$$\bm{A} = \frac{1}{2}\, \bm{B}\times\bm{r} \;,$$

ya que, invocando la identidad $\bm{C}\times(\bm{D}\times\bm{E})\!=\!\bm{D}(\bm{C}\cdot\bm{E})-\bm{E}(\bm{C}\cdot\bm{D})\,$ (cuidando el ordenamiento), se cumple

$$\nabla\times\bm{A} = \frac{1}{2}\,\nabla\times\left(\bm{B}\times\... ...abla\right)\bm{r} \bigr] = \frac{1}{2}\bigl[3\bm{B}-\bm{B}\bigr] = \bm{B} \;.$$

Como es habitual, recurrimos a la transformación canónica que nos permite reemplazar

$$\bm{p} \to \bm{p} - \frac{q}{c}\,\bm{A} \;,$$

de manera que escribimos

$$\hat{H} = \frac{1}{2\mu}\left(\hat{\bm{p}}-\frac{q}{c}\bm{A}\righ... ...dot\bm{A} + \bm{A}\cdot\hat{\bm{p}}\right) + \frac{q^2}{2\mu c^2}\bm{A}^2 \;.$$

Notemos que los dos primeros términos del miembro de la derecha corresponden al hamiltoniano $\hat{H}_o\,$ en ausencia de campo. Recordando la relación (12)

$$\bigl[\hat{p}_x,\hat{f}(x)\bigr] = -i\hbar \frac{\,{\rm d}\hat{f}(x)}{\,{\rm d}x} \;,$$

podemos demostrar

$$\hat{\bm{p}}\cdot\bm{A} - \bm{A}\cdot\hat{\bm{p}} = -i\hbar\,(\nabla\cdot\bm{A}) \;.$$

Como en nuestro caso $\nabla\cdot\bm{A}=0\,$ (gauge de Coulomb), $\bm{A}\cdot\hat{\bm{p}}=\hat{\bm{p}}\cdot\bm{A}\,$; además

$$\bm{A}\cdot\hat{\bm{p}} = \frac{1}{2}(\bm{B}\times\bm{r})\cdot\ha... ...{B}\cdot(\bm{r}\times\hat{\bm{p}}) = \frac{1}{2}\,\bm{B}\cdot\hat{\bm{L}} \;.$$

Así resulta

$$\hat{H} = \hat{H}_o - \frac{q}{2\mu c}\bm{B}\cdot\hat{\bm{L}} + ... ...^2 = \hat{H}_o - \hat{\bm\mu}_L\cdot\bm{B} + \frac{q^2}{2\mu c^2}\bm{A}^2 \;,$$

donde hemos definido el momento dipolar magnético orbital $\hat{\bm\mu}_L\!=\!q\hat{\bm{L}}/(2\mu c)$, que surge como consecuencia del movimiento orbital de la partícula cerca del centro del potencial. Como veremos más adelante, el momento angular intrínseco también interviene en la interacción con el campo magnético externo, aunque aquí estamos omitiendo ese efecto.

Teniendo en cuenta que

$$(\bm{C}\times\bm{D})\cdot(\bm{E}\times\bm{F}) = (\bm{C}\cdot\bm{E})(\bm{D}\cdot\bm{F}) - (\bm{C}\cdot\bm{F})(\bm{D}\cdot\bm{E}) \;,$$

reescribimos

$$\bm{A}^2 = \frac{1}{4}(\bm{B}\times\bm{r})\cdot(\bm{B}\times\bm{r}) = \frac{1}{4}\left[ B^2 r^2 - (\bm{B}\cdot\bm{r})^2 \right] \;,$$

de manera que el hamiltoniano queda

$$\hat{H} = \hat{H}_o - \frac{q}{2\mu c}\bm{B}\cdot\hat{\bm{L}} + \frac{q^2}{8\mu c^2}\left[ B^2 r^2 - (\bm{B}\cdot\bm{r})^2 \right] \;.$$