Efecto Zeeman normal

Cuando un átomo de hidrógeno se ubica en un campo magnético, sus niveles de energía se desplazan. Este corrimiento se denomina “efecto Zeeman normal”; cuando en el análisis se incluye además el momento intrínseco de la partícula (espín), se describe el “efecto Zeeman anómalo”.

Elegimos aquí el campo en la dirección $z$, es decir $\bm{B}\!=\!B\bm{\hat{e}}_z\,$, y consideramos el átomo de hidrógeno, es decir $\,q\!=\!-e\,$ y $\,V(r)\!=\!-e^2/r$. Como $\bm{B}\cdot\bm{r}\!=\!Bz$, la expresión anterior se escribe

$$\hat{H} = \frac{1}{2\mu}\hat{p}^2 - \frac{e^2}{r} + \frac{eB}{2\mu c}\hat{L}_z + \frac{e^2B^2}{8\mu c^2}\left(x^2+y^2 \right) \;.$$

El último término resulta muy pequeño frente al segundo, por lo que puede despreciarse para el caso de un átomo aisladoⁱ. Entonces el hamiltoniano de nuestra partícula se reduce a

$$\hat{H} =\hat{H}_o + \frac{\mu_B B}{\hbar}\hat{L}_z \;,$$

donde definimos el magnetón de Bohr

$$\mu_B = \frac{e\hbar}{2\mu c} = 9,274\times 10^{-24}\,\frac{\rm J}{\rm T} = 5,7884\times 10^{-5}\,\frac{\rm eV}{\rm T} \;.$$

Analizando la magnitud del último término al aplicar campos intensos ($\approx 1$ T), vemos que las autoenergías del átomo de hidrógeno sin campo son mucho mayores que lo que este sumando involucra, por lo que resulta muy apropiado el uso del método perturbativo que presentamos en la sección §6.1. Para ello empleamos las soluciones $\left\vert n\ell m \right\rangle$ del átomo de hidrógeno sin campo, que son también autofunciones de $\hat{L}^2\,$ y $\hat{L}_z\,$, por lo que resulta muy simple computar las autoenergías de $\hat{H}\,$, resultando

$$\left\langle n\ell m \right\vert\hat{H}\left\vert n\ell m \right\... ...l m \right\rangle \quad \Leftrightarrow\quad E_{n m} = E_n^o + m\,\mu_B B \;,$$

donde las $E_n^o\!=\!-\mu e^2/(2\hbar^2n^2)\,$ son las autoenergías de $\hat{H}_o\,$ (sin campo). Vemos entonces que, si bien las autoenergías no dependen de $\ell$, se desdoblan los niveles según el estado de $\hat{L}_z\,$, levantándose parcialmente la degeneración que había para los diferentes valores del número cuántico $m\,$: para cada $\ell\,$ hay entonces $(2\ell\!+\!1)\,$ energías $E_{nm}\,$ diferentes equidistantes entre sí. A menudo suelen escribirse las autoenergías utilizando la frecuencia de Larmor o ciclotrónica $\omega_L\!=\!eB/(2\mu c)$, que es la frecuencia clásica de rotación de una carga $e\,$ alrededor del campo magnético $B$.

El desdoblamiento predicho en este desarrollo para el efecto Zeeman normal no concuerda con los resultados experimentales: en lugar de encontrar un número impar ( $2\ell\!+\!1$) de niveles para cada $\ell\,$, se observa un número par, sugiriendo que los autovalores del momento angular son semienteros. Justamente esto se debe a que ignoramos el momento intrínseco de los electrones, que casualmente es semientero; más adelante incorporaremos este y otros nuevos elementos para completar la descripción del efecto Zeeman anómalo, cuyas predicciones sí coinciden con los experimentos.