Perturbaciones independientes del tiempo

La teoría de perturbaciones se basa en suponer que el problema a resolver es levemente diferente de otro cuya solución resulta conocida:

$$\hat{H}_o \vert\phi_n\rangle = E_n^{(0)} \vert\phi_n\rangle \;.$$

El problema concreto a resolver

$$\hat{H} \vert\psi_n\rangle = E_n \vert\psi_n\rangle$$

involucra el hamiltoniano

$$\hat{H} = \hat{H}_o + \hat{H}_p \;,$$

donde $\hat{H_p}\,$ es una perturbación que resulta muy pequeña frente a $\hat{H}_o\,$ (más adelante se aclarará qué significa esta “pequeñez”). A menudo se toma entonces $\hat{H}_p\!=\!\lambda\hat{W}\,$, con $\lambda\!\ll\!1\,$. En el caso no degenerado, es decir hay solo un estado $\vert\phi_n\rangle\,$ para cada autovalor $E_n^{(0)}$, deseamos aproximar una solución para el problema de autovalores

$$\left(\hat{H}_o+\lambda\hat{W}\right) \vert\psi_n\rangle = E_n \vert\psi_n\rangle$$ (23)

proponiendo

$$\left\{ \begin{array}{l} E_n = E_n^{(0)} + \lambda\, E_n^{(1)} ... ...mbda^2 \vert\psi_n^{(2)}\rangle + \dots \rule{0em}{1.5em} \end{array} \right.$$

Representamos así la corrección de orden $j\,$ con el supraíndice $(j)$. Es importante notar que estas expansiones no siempre convergen: la aproximación resulta satisfactoria cuando para $0\!\neq\!\lambda\!\ll$1 los estados generados difieren poco del caso $\lambda\!=\!0$ (claramente esto dependerá de la estructura propia de $\hat{W}$). Sustituyendo en (23)

$$\begin{multline} \left(\hat{H}_o+\lambda\hat{W}\right) \left( \vert\phi_n\rangl... ... \lambda^2 \vert\psi_n^{(2)}\rangle + \dots \right) \;. \nonumber \end{multline}$$

Como esto debe cumplirse para cualquier $\lambda\,$ pequeño y arbitrario, deben igualarse entonces los coeficientes de cada potencia de $\lambda\,$:

$$\hat{H}_o\vert\phi_n\rangle = E_n^{(0)}\vert\phi_n\rangle \rule{6em}{0em}$$

$$\hat{H}_o\vert\psi_n^{(1)}\rangle+\hat{W}\vert\phi_n\rangle = \ru... ..._n^{(0)}\vert\psi_n^{(1)}\rangle + E_n^{(1)}\vert\phi_n\rangle\rule{5.4em}{0em}$$ (25)

$$\hat{H}_o\vert\psi_n^{(2)}\rangle+\hat{W}\vert\psi_n^{(1)}\rangle... ...2)}\rangle + E_n^{(1)}\vert\psi_n^{(1)}\rangle + E_n^{(2)}\vert\phi_n\rangle\;.$$ (26)

Como $\vert\psi_n\rangle\,$ se parece a $\vert\phi_n\rangle$, en lugar de la normalización habitual se impone la condición

$$\langle\phi_n\vert\psi_n\rangle = 1 \;,$$

que implica

$$\lambda \langle\phi_n\vert\psi_n^{(1)}\rangle + \lambda^2 \langle\phi_n\vert\psi_n^{(2)}\rangle + \dots = 0$$

para cualquier $\lambda\ll 1$, es decir

$$\langle\phi_n\vert\psi_n^{(1)}\rangle = \langle\phi_n\vert\psi_n^{(2)}\rangle = 0 \;;$$

lo que esto significa es que $\vert\phi_n\rangle$, que es la aproximación de orden 0 para estimar $\vert\psi_n\rangle\,$, es ortogonal a todas las correcciones de orden superior.

Proyectando entonces (24) sobre $\langle\phi_n\vert\,$ vemos que la corrección de orden 1 para la autoenergía es

$$E_n^{(1)} = \langle\phi_n\vert\hat{W}\vert\phi_n\rangle\;,$$   o bien$$\qquad \fbox{\ $E_n = E_n^{(0)} + \langle\phi_n\vert\hat{H}_p\vert\phi_n\rangle \rule[-0.8em]{0em}{2.2em} $ }$$

Para expandir $\vert\psi_n^{(1)}\rangle\,$ en términos de la base $\vert\phi_n\rangle\,$ seguimos el procedimiento habitual

$$\vert\psi_n^{(1)}\rangle = \sum_{m\neq n} \langle\phi_m\vert\psi_n^{(1)}\rangle\; \vert\phi_m\rangle \;.$$

Al proyectar (24) sobre $\langle\phi_m\vert\,$ obtenemos los coeficientes de esta expansión

$$\langle\phi_m\vert\psi_n^{(1)}\rangle = \frac{\langle\phi_m\vert\hat{W}\vert\phi_n\rangle}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}} \;,$$

es decir que, a primer orden,

$$\fbox{\ \ $\vert\psi_n\rangle = \vert\phi_n\rangle + \displaystyl... ...rangle}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}\; \vert\phi_m\rangle \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$

Para obtener la corrección de segundo orden proyectamos ahora (25) sobre $\langle\phi_n\vert\,$ , valiéndonos de la ortogonalidad entre $\vert\phi_n\rangle\,$ y $\vert\psi_n^{(j)}\rangle$, obteniendo

$$E_n^{(2)} = \langle\phi_n\vert\hat{W}\vert\psi_n^{(1)}\rangle\;.$$

Reemplazando la expresión que obtuvimos para $\vert\psi_n^{(1)}\rangle$, la estimación para la autoenergía al segundo orden resulta

$$\fbox{\ $E_n = E_n^{(0)} + \langle\phi_n\vert\hat{H}_p\vert\phi_n... ..._p\vert\phi_n\rangle\vert^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}} \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$

Es interesante notar que la corrección de segundo orden para la energía del estado fundamental siempre es negativa (ya que todos los numeradores son positivos y los denominadores, negativos). Si bien se pueden buscar correcciones superiores, en general con estas aproximaciones es suficiente en la mayoría de los casos de interés.

Más adelante retomaremos los métodos perturbativos en el contexto de movimientos en tres dimensiones.