Función de Hamilton o hamiltoniano

Al momento de formular el principio de Hamilton, escribimos una variación infinitesimal de la lagrangiana debida a variaciones arbitrarias en las $q\,$ y las $\dot{q}\,$ como

$${\rm d}L = \sum_j \frac{\partial L}{\partial q_j}\,{\rm d}q_j + \sum_j \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_j}\,{\rm d}\dot{q}_j \;.$$

Recordando las ecuaciones de Lagrange

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}\right) = \frac{\partial L}{\partial q_k}$$

y la definición de los momentos generalizados

$$p_k = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k} \,$$

la expresión anterior se torna

$${\rm d}L = \sum_j \dot{p}_j\,{\rm d}q_j + \sum_j p_j\,{\rm d}\dot... ...+ {\rm d}\bigg(\sum_j p_j\,\dot{q}_j\bigg) - \sum_j \dot{q}_j\,{\rm d}p_j \;,$$

o lo que es equivalente,

$${\rm d}\bigg(\sum_j p_j\,\dot{q}_j-L\bigg) = -\sum_j \dot{p}_j\,{\rm d}q_j + \sum_j \dot{q}_j\,{\rm d}p_j \;.$$ (32)

El paréntesis de la izquierda se parece mucho a la función energía presentada en §3.6.3, al tiempo que el miembro de la derecha sugiere pensar en una función cuyas variables independientes sean las $q\,$ y las $p\,$. Llamamos entonces al paréntesis de la izquierda función de Hamilton o hamiltoniano

$$H(p,q,t) = \sum_j p_j\,\dot{q}_j - L \;,$$

de manera que

$${\rm d}H = -\sum_j \dot{p}_j\,{\rm d}q_j + \sum_j \dot{q}_j\,{\rm... ...d \dot{p}_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j}\quad\rule[-1.3em]{0em}{3em}} \;.$$ (33)

Estas son las ecuaciones de Hamilton o ecuaciones canónicas, y son equivalentes a las ecuaciones de Legendre, aunque en lugar de $n\,$ ecuaciones de segundo orden, vale la pena notar que se trata de $2n\,$ ecuaciones de primer orden en $p\,$ y $q\,$ ($2n\,$ variables independientes).

Cuando puedan ocurrir cambios de $H\,$ con $t$, a partir de las ecuaciones de Hamilton, se cumple

$$\frac{{\rm d}H}{{\rm d}t} = \frac{\partial H}{\partial t} \,{\co... ...frac{\partial H}{\partial q_j}\,\dot{q}_j} = \frac{\partial H}{\partial t} \;,$$

tal como habíamos notado en nuestra pubertad: si $H\,$ no depende explícitamente de $t\,$, es una cantidad conservada. Recordemos que si la energía cinética es cuadrática en las $\dot{q}\,$ y el potencial no depende de las $\dot{q}\,$, entonces $H\,$ representa la energía del sistema. Del mismo modo, si en la lagrangiana permitimos cambios no solo en las $q\,$ y las $\dot{q}\,$, sino también en $t\,$

$${\rm d}L = \sum_j \frac{\partial L}{\partial q_j}\,{\rm d}q_j + ... ...tial\dot{q}_j}\,{\rm d}\dot{q}_j + \frac{\partial L}{\partial t}\,{\rm d}t \;,$$

al completar la expresión (32) y comparar con ${\rm d}H$, identificamos

$$\frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}$$

Consideremos el ejemplo de una partícula en un potencial central $V(r)$ y realicemos nuestra descripción en coordenadas esféricas, de modo que partimos de la lagrangiana

$$L = T-V = \frac{m}{2} \left( \dot{r}^2 + r^2\,\dot{\theta}^2 + r^2\operatorname{sen}^2\!\theta\;\dot{\phi}^2 \right) - V(r) \;.$$

Explicitamos los momentos generalizados

$$p_r = \frac{\partial L}{\partial\dot{r}} = m\,\dot{r} \;, \qquad ... ...al L}{\partial\dot{\phi}} = m\,r^2\operatorname{sen}^2\!\theta\;\dot{\phi} \;,$$

y expresamos las $\{\dot{q}\}$ en términos de las $\{p\}$

$$\dot{r} = \frac{p_r}{m} \;, \qquad\qquad \dot{\theta} = \frac{p_\... ...\qquad\qquad \dot{\phi} = \frac{p_\phi}{m\,r^2\operatorname{sen}^2\!\theta} \;,$$ (34)

para sustituir en la definición de $H(p,q)$

$$H = p_r\,\dot{r} + p_\theta\,\dot{\theta} + p_\phi\,\dot{\phi} - ... ...atorname{sen}^2\!\theta} \right) + V(r) \,{\color[rgb]{.5,.5,.5}=T+V = E} \;.$$

Estamos en condiciones de plantear las ecuaciones de Hamilton, que resultan

$${\color{gray} \dot{r} = \frac{\partial H}{\partial p_r} = \frac{p... ...al H}{\partial p_\phi} = \frac{p_\phi}{m\,r^2\operatorname{sen}^2\!\theta} \;,}$$

$$\dot{p}_r = -\frac{\partial H}{\partial r} = \frac{p_\theta^2}{m\... ... \frac{p_\phi^2\cos\theta}{m\,r^2\operatorname{sen}^3\!\theta} \;, \qquad\qquad \dot{p}_\phi = -\frac{\partial H}{\partial\phi} = 0 \rule{0em}{2.2em} \;.$$

Las primeras igualdades simplemente reproducen la relación entre las velocidades e impulsos generalizados (34). Se deja como ejercicio verificar que las ecuaciones de Euler-Lagrange son equivalentes a la segunda línea de este conjunto de ecuaciones.

Veamos otro ejemplo, involucrando ahora una partícula de carga eléctrica $q\,$ bajo la acción de un campo electromagnético. Ya encontramos la lagrangiana para este caso en §3.3.1

$$L = T-U = \frac{m\bm{v}^2}{2} - q\,\phi + \frac{q}{c}\,\bm{v}\cdot\bm{A} \;,$$

de manera que

$$\bm{p} = \frac{\partial L}{\partial\bm{\dot{r}}} = m\,\bm{v} + \f... ...ightarrow\qquad \bm{v} = \frac{1}{m}\left(\bm{p}-\frac{q}{c}\bm{A}\right) \;.$$

Con estos elementos construimos el hamiltoniano (ejercicio)

$$H = \bm{p}\cdot\bm{v} - L = \frac{1}{2m}\left(\bm{p}-\frac{q}{c}\bm{A}\right)^2 + q\,\phi \;,$$

de donde resultan las ecuaciones de Hamilton

$${\color{gray}\bm{\dot{r}} = \frac{\partial H}{\partial\bm{p}} = ... ...\frac{q}{c}\bm{A}\right)\times(\nabla\times\bm{A}) \right] - q\,\nabla\phi \;.$$

Para llegar a esta última expresión recurrimos a la identidad

$$\nabla(\bm{f}\cdot\bm{f}) = 2(\bm{f}\cdot\nabla)\bm{f} + 2\bm{f}\times(\nabla\times\bm{f}) \;,$$

tomando $\bm{f}=\bm{p}-(q/c)\bm{A}$ (ejercicio).