Formulación hamiltoniana

Hasta aquí basamos nuestras descripciones en el formalismo lagrangiano, en la cual partimos tomando como base las coordenadas generalizadas $q\,$ y las velocidades generalizadas $\dot{q}\,$ asociadas. Así obtuvimos, para un sistema con $n\,$ grados de libertad, $n\,$ ecuaciones diferenciales (en $t\,$) de segundo orden. Un posible estado del sistema se representa en un espacio de configuraciones $n$-dimensional donde se representan todas las $q$, y a medida que la dinámica evoluciona, ese punto $n$ dimensional se desplaza trazando una curva en ese espacio.

En la descripción hamiltoniana en cambio, construiremos $2n\,$ ecuaciones de primer orden en $q\,$ y $p=\partial L/\partial\dot{q}\,$, donde estas $2n\,$ variables independientes son tenidas en cuenta en igual jerarquía. El estado del sistema es representado en el espacio de fases $2n$-dimensional, con el conjunto $(q_1,...\,,q_n,p_1,...\,,p_n)$. En realidad nuestros desarrollos al plantear el principio de Hamilton, consideraban a todas las $q\,$ y las $\dot{q}\,$ como variables independientes, ya que de ambas dependía el estado dinámico del sistema descripto; pronto veremos que este paso de un conjunto de variables independientes a otro sin pérdida de información se corresponde con un procedimiento conocido en diferentes ámbitos.