Transformaciones canónicas

La elección de las coordenadas generalizadas no es única: ya sabemos que siempre podemos elegir un nuevo conjunto de coordenadas $Q_j(q,t)$, a través de lo que habíamos denominado transformaciones puntuales. En el marco del formalismo lagrangiano habíamos visto que cualquier transformación puntual mantiene las ecuaciones de Euler-Lagrange (ver §2.5). Obviamente, esa libertad se hereda en el formalismo hamiltoniano, aunque cabe preguntarse si tendremos mayor libertad para elegir otras transformaciones que mantengan invariantes las ecuaciones de Hamilton. Como ahora las $p$ y las $q$ tienen la misma jerarquía, queremos ver transformaciones del tipo

$$Q_j = Q_j(p,q,t)$$   y$$\hspace{6em} P_j = P_j(p,q,t)$$

que conserven la forma de las ecuaciones canónicas, es decir,

$$\dot{Q}_j = \frac{\partial H'}{\partial P_j}$$   y$$\hspace{6em} \dot{P}_j = -\frac{\partial H'}{\partial Q_j} \;,$$

donde el nuevo hamiltoniano $H'$ está expresado en términos de las $P$ y $Q$. Sabemos que en esta representación debe satisfacerse el principio de Hamilton, es decir, así como se cumple

$$\delta\int_{t_1}^{t_2} \!{\rm d}t\; L(q,\dot{q},t) = 0$$

debe también cumplirse

$$\delta\int_{t_1}^{t_2} \!{\rm d}t\; L'(Q,\dot{Q},t) = 0 \;,$$

y por lo tanto,

$$\delta\int_{t_1}^{t_2} \!{\rm d}t\; (L-L') = 0 \;.$$

Para que esta última expresión se anule no es necesario que se cumpla $L=L'$: es suficiente que estas lagrangianas difieran en una derivada total respecto del tiempo

$$L - L' = \frac{{\rm d}F}{{\rm d}t} \;,$$

ya que, al estar prefijados los estados en $t_1\,$ y $t_2\,$, siempre valdrá

$$\delta\int_{t_1}^{t_2} \!{\rm d}t\; \frac{{\rm d}F}{{\rm d}t} = \delta \Big( \big.F\big\vert _{t_2} - \big.F\big\vert _{t_1} \Big) = 0 \;.$$

Esta función $F$ es partícipe de la relación entre las variables iniciales $(p,q)$ y las nuevas variables $(P,Q)\,$. La forma más general podría ser $F=F(q,p,Q,P,t)$, pero sabemos que además del tiempo solo hay $2n\,$ variables independientes, es decir $2n+1\,$ en total; entre todas las posibilidades, elijamos en primera instancia $F(q,Q,t)$. En este caso,

$${\color{gray}L-L'=\frac{{\rm d}F}{{\rm d}t} \qquad\leftrightarrow... ...frac{\partial F}{\partial Q_j}\,\dot{Q}_j + \frac{\partial F}{\partial t} \;,$$

de donde podemos expresar un cambio infinitesimal ${\rm d}F$ asociado a un intervalo ${\rm d}t\,$ mediante

$${\rm d}F = \sum_j \frac{\partial F}{\partial q_j}\,{\rm d}q_j + \... ...m d}t = \sum_j p_j\,{\rm d}q_j -\sum_j P_j\,{\rm d}Q_j + (H'\!-H)\,{\rm d}t \;.$$ (38)

Como elegimos las $q\,$ y las $Q\,$ como variables independientes, identificamos así

$$p_j = \frac{\partial F}{\partial q_j} \;, \hspace{6em} P_j = -\fr... ...}{\partial Q_j} \;, \hspace{6em} H'\! = H + \frac{\partial F}{\partial t} \;.$$

Entonces toda la información sobre la transformación $(q,p)\to(Q,P)\,$ y $H\to H'\,$ está contenida en $F$, que recibe el nombre de función generatriz.

Cuando nos interesen otras elecciones para el conjunto de variables independientes —en lugar de $q\,$, $Q\,$ y $t\,$—, recurrimos a las transformadas de Legendre, de las cuales aquí presentaremos solamente la siguiente “receta”: dadas $m$ variables independientes $X_1, X_2,...,X_m\,$ y una función

$$f = f(X_1,...,\,{\color{Bittersweet}X_k},\,,X_m)$$

que contiene toda la información de interés, entonces la función

$$\psi_k(X_1,...,{\color{Bittersweet}Y_k},\,,X_m) = f - {\color{Bittersweet}Y_k X_k} \;,$$   con$$\quad Y_k \equiv \frac{\partial f}{\partial X_k}$$

también contiene toda la información de interés sobre nuestro sistema. Volviendo a nuestra descripción, supongamos por ejemplo que elegimos $(q,P,t)$ como variables independientes, en lugar de $(q,Q,t)\,$, y tenemos la $F(q,Q,t)\,$ obtenida arriba: queremos transformar todas las $Q_j\,$ por las $P_j\,$, que en este caso cumplen

$$-P_j = \frac{\partial F}{\partial Q_j} \;.$$

Entonces, siguiendo la receta de arriba, la función

$$\Phi(q,P,t) = F - \sum_{j=1}^n {\color{Orchid}\frac{\partial F}{\partial Q_j}}\,Q_j = F \,{\color{Orchid}+} \sum_{j=1}^n {\color{Orchid}P_j}\,Q_j$$ (39)

es otra función generatriz para la transformación $(q,p)\to(Q,P)\,$ y $H\to H'\,$. Podemos constatar cómo se provee toda la información, explicitando ${\rm d}\Phi\,$ y teniendo en cuenta (38)

$${\rm d}\Phi = {\rm d}\bigg( F + \sum_{j=1}^n P_j\,Q_j \bigg) = \s... ...j \,{\color{lightgray}+\,0} + \sum_j Q_j\,{\rm d}P_j + (H'\!-H)\,{\rm d}t \;,$$

de donde

$$p_j = \frac{\partial\Phi}{\partial q_j} \;, \hspace{6em} Q_j = +\... ...\partial P_j} \;, \hspace{6em} H'\! = H + \frac{\partial\Phi}{\partial t} \;.$$

Consideremos ahora el ejemplo de la función generatriz

$$F(q,Q) = \sum_{j=1}^n q_j\,Q_j \;,$$

que permite obtener

$$p_j = \frac{\partial F}{\partial q_j} = Q_j \;,$$   y$$\qquad P_j = -\frac{\partial F}{\partial Q_j} = -q_j \;.$$

Vemos que esta transformación asume los impulsos originales $p\,$ como las nuevas coordenadas $Q\,$ y las coordenadas originales cambiadas de signo $-q\,$ como los nuevos impulsos $P$, poniendo en evidencia que estas magnitudes tienen la misma relevancia dentro del formalismo hamiltoniano.

Analicemos otro ejemplo, que involucra un oscilador armónico unidimensional, para el cual

$$H(p,q) = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}q^2 \;.$$

Las ecuaciones de Hamilton nos llevan a la conocida identidad (ejercicio) $\,\ddot{q}+\omega^2\,q=0\,$. Sería muy conveniente encontrar una transformación canónica que nos permita expresar un nuevo hamiltoniano simplificado como

$$H'(P) = \omega\,P \;.$$

Analizando la forma de $H\,$, resulta evidente que la transformación

$$q = \sqrt{\frac{2P}{m\omega}}\,\operatorname{sen}Q \;, \hspace{5em} p = \sqrt{2m\omega P} \cos Q$$

consigue ese hamiltoniano; queda como ejercicio verificar que existe una función generatriz para esta transformación, lo que garantiza que efectivamente esta es una transformación canónica.

En el marco del formalismo hamiltoniano entonces, las transformaciones que nos interesan son aquellas que conservan la forma de las ecuaciones de Hamilton, y son las llamadas transformaciones canónicas. Los impulsos y coordenadas abarcados en estas transformaciones se denominan magnitudes canónicamente conjugadas. Ya vimos que al encontrar una función generatriz garantizamos que una transformación resulta canónica. A continuación aprovecharemos los corchetes de Poisson para agregar herramientas en esta misma dirección.