Función de Lagrange o lagrangiana

Cuando las fuerzas $\bm{F}_i$ se derivan de un potencial $V(\bm{r}_1,...\,,\bm{r}_N,t)$, las ecuaciones de Lagrange adquieren una forma bastante compacta, ya que

$$\bm{F}_i = -\nabla_i V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x_i}\... ...partial z_i}\,\bm{\hat{k}} \right) = -\frac{\partial V}{\partial\bm{r}_i} \;.$$

Las componentes $k$ de las fuerzas generalizadas entonces

$$Q_k \equiv \sum_{i=1}^N \bm{F}_i\cdot \frac{\partial\bm{r}_i}{\pa... ...,\frac{\partial x_i}{\partial q_k} \right) = -\frac{\partial V}{\partial q_k}$$

también se derivan del potencial. Entonces las ecuaciones de Lagrange pueden reescribirse como

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q... ...}{\partial\dot{q}_k}\right) - \frac{\partial~}{\partial q_k\!\!}(T-V) = 0 \;.$$

Como $V$ solo depende de las $q_k$, es decir $\partial V/\partial q_k=0$, esta identidad equivale a

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left[\frac{\partial ~}{\partial\dot{q}_k\!\!}(T-V)\right] - \frac{\partial~}{\partial q_k\!\!}(T-V) = 0 \;,$$

de manera que definiendo la lagrangiana o función de Lagrange como $L=T\!-\!V$, las ecuaciones de movimiento se expresan como

$$\hspace{9em} \fbox{\ \ \ $ \displaystyle\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}... ...75em]{0em}{4em} $\ \ \ } \rule{4em}{0em} \mbox{\textsl{ecuaciones de Lagrange}}$$ (5)

Este es un conjunto de $n$ ecuaciones diferenciales de segundo orden para las $q_k(t)\,$: para determinar íntegramente las soluciones deben acompañarse de $2n$ condiciones iniciales $q_1(t_o),...\,, q_n(t_o), \dot{q}_1(t_o),...\,, \dot{q}_n(t_o)$.

Vemos que este método para la descripción de la dinámica de un sistema consigue el objetivo de prescindir de las fuerzas de vínculo, y al mismo tiempo se involucran tantas variables independientes como grados de libertad posee el sistema. En este sentido, resulta más económico que el formalismo de Newton. Otro rasgo característico que observamos es que para arribar a las ecuaciones de Lagrange es necesario contar con expresiones para $T$ y $V$, que son funciones escalares de $\{q_k,\dot{q}_k\}$, en lugar de magnitudes vectoriales como las que intervienen en las ecuaciones de Newton —por supuesto tanto $T$ como $V$ deben estar descriptas en relación a un referencial inercial, ya que nuestra construcción se valió de esa hipótesis desde un comienzo ($\S$2.3), donde planteamos que se cumple $\dot{\bm{p}}_i=\bm{F}_i$.

Vale la pena resaltar que las ecuaciones de Lagrange tienen siempre la misma forma, independientemente de la elección que realicemos para las coordenadas generalizadas $\{q_k\}$. A esta altura estamos en condiciones de comprobar esa invariancia al cambiar nuestra representación de $\{q_k\}$ a otro conjunto de coordenadas generalizadas $\{\tilde{q}_j\}$, relacionadas mediante una transformación puntual, es decir

$$\tilde{q}_j = \tilde{q}_j(q_1,...\,, q_n, t) \qquad j=1,...\,n \rule{4em}{0em}$$o bien$$\rule{4em}{0em} q_k = q_k(\tilde{q}_1,...\,, \tilde{q}_n, t) \qquad k=1,...\,n \;.$$

Derivando adecuadamente obtenemos

$$\dot{q}_k = \sum_{j=1} \frac{\partial q_k}{\partial\tilde{q}_j}\,\dot{\tilde{q}}_j + \frac{\partial q_k}{\partial t} \;,$$

donde nuevamente notamos que si bien las $q$ solo dependen de $\tilde{q}$ y $t$, el proceso de derivación nos lleva a que las $\dot{q}$ dependan además de las $\dot{\tilde{q}}\,$; en particular vemos que dependen linealmente de las $\dot{\tilde{q}}\,$, por lo que está claro que

$$\frac{\partial\dot{q}_k}{\partial\dot{\tilde{q}}_j} = \frac{\partial q_k}{\partial\tilde{q}_j} \;.$$

Como la nueva lagrangiana $\tilde{L}$ no es otra cosa que la original, sustituyendo las variables $\,q,\dot{q},t\,$ por $\,\tilde{q},\dot{\tilde{q}},t$

$$\tilde{L}(\tilde{q},\dot{\tilde{q}},t) = L\left(q(\tilde{q},t),\dot{q}(\tilde{q},\dot{\tilde{q}},t),t\right) \;,$$

para completar la demostración debemos desarrollar las derivadas

$$\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\dot{\tilde{q}}_j} = \sum_{k=1}^... ...ial\dot{q}_k}\,\frac{\partial\dot{q}_k}{\partial\dot{\tilde{q}}_j} \right) \;,$$

de donde (ejercicio)

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial\tilde{L}}{\partia... ...rtial\dot{q}_k}\, % \frac{\partial\dot{q}_k}{\partial\tilde{q}_j} \right] \;.$$

Del mismo modo escribimos

$$\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{q}_j} = \sum_{k=1}^n \lef... ...al L}{\partial\dot{q}_k}\,\frac{\partial q_k}{\partial\tilde{q}_j} \right) \;,$$

y arribamos a que

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial\tilde{L}}{\partia... ...l L}{\partial q_k} \right] \, \frac{\partial q_k}{\partial\tilde{q}_j} = 0 \;.$$

Los corchetes se anulan en virtud de que se cumplen las ecuaciones de Lagrange representadas mediante las $\{q_k\}$, de manera que esto implica que también se cumplen las ecuaciones de Lagrange cuando pasamos a las $\{\tilde{q}_k\}$.

Otra propiedad importante de las lagrangianas es que, una vez elegidas las coordenadas generalizadas $\{q_k\}$, no hay una única elección para $L(q,\dot{q},t)$: la adición de la derivada total con respecto a $t$ de una función de las coordenadas generalizadas y el tiempo $G(q,t)$

$$L_2(q,\dot{q},t) = L(q,\dot{q},t) + \frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}G(q,t)$$ (6)

genera las mismas ecuaciones de movimiento. Se deja como ejercicio demostrarlo, recurriendo a cálculos similares a los precedentes.

Ilustremos la construcción de la función de Lagrange y la obtención de las ecuaciones de movimiento mediante el ejemplo de la figura, donde el hilo de longitud $\ell_o$ que une a las masas $m_1$ y $m_2$ sigue siendo inextensible y sin masa, de manera que las coordenadas $x_1$ y $x_2$ no son independientes sino que respetan la restricción $x_1+x_2=\ell_o-\pi R$. Por otro lado, el resorte de constante $k$ que conecta las masas $m_2$ y $m_3$ tiene una longitud natural $\ell$. Tenemos entonces dos grados de libertad caracterizados mediante las coordenadas generalizadas $x_2$ y $x_3$, y describimos la posición de $m_1$ expresando $$x_1 = \ell_o-\pi R-x_2 \qquad \Rightarrow\qquad \dot{x}_1 = -\dot{x}_2 \;.$$

 

En términos de las coordenadas elegidas, la energía cinética resulta

$$T = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{x}_2^2 + \frac{1}{2}m_3\dot{x}_3^2 \;,$$

y la energía potencial,

$$V = -m_1 g\,x_1 -m_2 g\,x_2 -m_3 g\,x_3 + \frac{k}{2}(x_3\!-\!x_2... ... g\,(\ell_o\!-\!\pi R)} - m_3 g\,x_3 + \frac{k}{2}(x_3\!-\!x_2\!-\!\ell)^2 \;.$$

Reuniendo estos elementos arribamos a la lagrangiana $L(x_2,x_3,\dot{x}_2,\dot{x}_3)$

$$L = T-V = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{x}_2^2 + \frac{1}{2}m_3\dot{x}... ...\!-\!x_2\!-\!\ell)^2 + \textcolor{lightgray}{\,m_1 g\,(\ell_o\!-\!\pi R)} \;,$$

que nos permitirá encontrar las ecuaciones de movimiento. Para ello derivamos

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_2} = (m_1\!+\!m_2)\,\dot{x}_2 \... ...(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_2}\right) = (m_1\!+\!m_2)\ddot{x}_2\;;\qquad \frac{\partial L}{\partial x_2} = (m_2\!-\!m_1)g + k (x_3\!-\!x_2\!-\!\ell)$$

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_3} = m_3\dot{x}_3 \quad\Rightar... ...left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_3}\right) = m_3\ddot{x}_3\;;\qquad\qquad \frac{\partial L}{\partial x_3} = m_3g - k (x_3\!-\!x_2\!-\!\ell) \;.$$

Las ecuaciones de movimiento resultan

$$(m_1\!+\!m_2)\,\dot{x}_2 - (m_2\!-\!m_1)g - k (x_3\!-\!x_2\!-\!\ell) = 0 \;, \qquad m_3\dot{x}_3 - m_3g + k (x_3\!-\!x_2\!-\!\ell) = 0 \;.$$

Afortunadamente, el límite $k\to0$ nos permite recuperar el resultado obtenido previamente para la máquina de Atwood.

Analicemos otro ejemplo, ilustrado en la figura, en el que una masa $m$ se mueve a lo largo un alambre que gira con velocidad angular $\omega$ (constante). Aquí no hay fuerzas aplicadas —excepto la de vínculo que mantiene a la masa bajo esa restricción—, por lo cual $V=0$, y la simetría del problema invita a realizar la descripción en coordenadas polares $(r,\theta)$. Debemos obtener la energía cinética en términos de las coordenadas y velocidades generalizadas, para lo cual notamos que el ángulo polar $\theta$ está restringido por la condición $\dot{\theta}=\omega$, de modo que eligiendo $\theta(t=0)=0$ podemos representar este vínculo holónomo como $\theta=\omega t$. Describimos la dinámica en términos de la coordenada generalizada $q=r$, que representa el único grado de libertad que queda libre en este sistema

$$\bm{r} = r\, \bm{\hat{e}}_r \quad\to\quad \bm{v} = \dot{r}\,\bm{\... ...textcolor{lightgray}{- V} = \frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2+r^2\omega^2\right) \;.$$

La ecuación de Lagrange para la función de movimiento $r(t)$ resulta

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}... ...\partial L}{\partial r} = 0 \qquad\Rightarrow\qquad \ddot{r} = \omega^2 r \;,$$

coincidente con lo que obteníamos mediante el formalismo de Newton.