Principio de d'Alembert

Las ideas presentadas en la sección anterior pueden trasladarse a sistemas dinámicos. Una forma de escribir la 2^a ley de Newton es

$$\bm{F}_i - \dot{\bm{p}}_i = 0 \qquad (\bm{p}_i=m_i\dot{\bm{r}}_i) \;.$$

Esta ecuación fue interpretada por d'Alembert como la fuerza total resultante, ya que el término $-\dot{\bm{p}}_i$ involucra la fuerza ficticia que surge al describir la dinámica desde un sistema no inercial, como es el que acompaña a la partícula en su movimiento: desde allí la masa $m_i$ está obviamente en reposo. Con esta idea en mente, el principio de los trabajos virtuales se extiende naturalmente a un sistema dinámico mediante esta descripción; teniendo presente que podemos omitir las fuerzas de vínculo (ideales) al computar los trabajos virtuales,

$$\sum_{i=1}^N \left(\dot{\bm{p}}_i-\bm{F}_i\right)\!\cdot\delta\bm... ...le[-1.75em]{0em}{4em} $\ \ \ } \qquad \mbox{\textsl{Principio de d'Alembert}}$$

Entonces sabemos que podemos plantear estas condiciones para encontrar los $\bm{p}_i$ y por lo tanto las solucio-

 

nes $\bm{r}_i(t)$ de nuestro sistema, prescindiendo de las fuerzas de vínculo, que son desconocidas de antemano. Para ello, hemos impuesto las restricciones que deben cumplir los desplazamientos virtuales $\delta\bm{r}_i$, que en realidad son condicionamientos establecidos por las fuerzas de vínculo. Vale la pena enfatizar nuevamente que los $\{\delta\bm{r}_i\}$ no son todos independientes, como mencionamos más arriba. Ilustremos estas ideas con el análisis de una máquina de Atwood, detallada en la figura: aquí el hilo inextensible de longitud $\ell$ no tiene masa, al igual que la polea de radio $R$, la cual gira sin rozamiento. En es-

te caso $\,\bm{r}_1=x_1\,\bm{\hat{\imath}}\,$ y $\,\bm{r}_2=x_2\,\bm{\hat{\imath}}$. Podemos representar el vínculo holónomo impuesto por el hilo inextensible como

$$x_1+x_2=\ell -\pi R =$$   constante$$\;.$$

Esta relación condiciona los posibles desplazamientos virtuales, que cumplen

$$\delta x_1 + \delta x_2 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad \delta x_2 = -\delta x_1 \;.$$

Por supuesto, las igualdades anteriores también implican $\dot{x}_2=-\dot{x}_1$ y por ende $\ddot{x}_2=-\ddot{x}_1$. Sabemos además que

$$F_1^{\textcolor{gray}{(a)}} = m_1g\,\bm{\hat{\imath}}$$   y$$\qquad F_2^{\textcolor{gray}{(a)}} = m_2g\,\bm{\hat{\imath}} \;,$$

y como las fuerzas de vínculo no deben considerarse, vamos desapareciendo el supraíndice $^{\textcolor{gray}{(a)}}$. Imponiendo el principio de d'Alembert y utilizando las ecuaciones para los vínculos obtenemos

$$m_1\ddot{\bm{r}}_1\cdot\delta\bm{r}_1+m_1\ddot{\bm{r}}_2\cdot\del... ...cdot\delta\bm{r}_1+m_2g\,\bm{\hat{\imath}}\cdot\delta\bm{r}_2 \quad \stackrel[$$(ejercicio)$$]{}{...\;\Rightarrow} \quad (m_1+m_2)\,\ddot{x}_1=(m_1-m_2)\,g \quad\Rightarrow\quad \ddot{x}_1 = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g \;.$$