Desplazamientos virtuales

Entonces está claro que en cada instante un sistema puede acceder a infinidad de configuraciones, siempre que estas sean consistentes con las restricciones impuestas por los vínculos. Con esa idea en mente definimos como “desplazamientos virtuales” a aquellos desplazamientos infinitesimales que permitirían que el sistema pase de una configuración posible a otra muy próxima. Para un sistema de $N$ partículas tendremos un conjunto de desplazamientos virtuales $\{\delta\bm{r}_i\}\;(i\!=\!1,...\,,N)$ que las partículas pueden realizar instantáneamente ($t$ se mantiene fijo) respetando los vínculos impuestos. Vale la pena enfatizar nuevamente que estos desplazamientos se denominan virtuales porque no ocurren en la evolución real del sistema, sino que en cada instante imaginamos hacia dónde podría desplazarse el estado conjunto de partículas de acuerdo con las restricciones contenidas en los vínculos.

Al imaginar esos $\{\delta\bm{r}_i\}$ podemos computar el trabajo virtual que realizarían las fuerzas que actúan sobre las partículas, en particular las fuerzas de vínculo, que son aquellas encargadas de limitar el movimiento para respetar las condiciones $f(\xi_1,\xi_2,...\,,\xi_M,t)=0$, o $g(\xi_1,...\,,\xi_M,\dot{\xi}_1,...\,,\dot{\xi}_M,t)=0$, o cualquier otra restricción que corresponda. En la mayoría de los casos de interés, se anula el trabajo virtual total realizado por las fuerzas de vínculo. Si repasamos los ejemplos presentados más arriba, vemos que esta condición se cumple en todos ellos, y muchos más que podamos imaginar. Aquellos vínculos en los cuales las fuerzas asociadas no realizan trabajo virtual son llamados vínculos ideales. Nuestros próximos desarrollos presuponen que los vínculos impuestos siempre son ideales.

Como dijimos anteriormente, en el marco de la mecánica newtoniana buscamos resolver la evolución de un sistema mediante ecuaciones diferenciales como $m\,\ddot{\bm{r}_i}\!=\!\bm{F}_i\!=\!\bm{F}_i^{(a)}\!+\!\bm{f}_i\; (i\!=\!1,...\,,N)$, donde discriminamos la resultante de las fuerzas “aplicadas” $\bm{F}_i^{(a)}$, de las fuerzas de vínculo $\bm{f}_i$, encargadas de restringir los posibles movimientos. Estas ecuaciones de segundo orden tienen una única solución $\{\bm{r}_i\}$, cuando son conocidas las condiciones iniciales. En este formalismo, si aparecen vínculos surgen inconvenientes en diferentes niveles. Por ejemplo, aun cuando sepamos que no son necesarias muchas coordenadas, no podemos evitarlas si queremos incluir todas las fuerzas intervinientes en las ecuaciones que debemos resolver; esto se pone especialmente en evidencia cuando los vínculos involucrados son holónomos. Por otro lado, la mayoría de las veces las fuerzas de vínculo se desconocen de antemano, y deben incluirse como incógnitas adicionales en el conjunto de ecuaciones para resolver. En este sentido, la formulación newtoniana es poco económica, y a menudo estas complicaciones impiden la resolución de muchos problemas mediante este formalismo.

Por este motivo se procura encontrar formulaciones alternativas, que puedan prescindir de las fuerzas de vínculo, involucrando solamente un conjunto de coordenadas independientes. Antes de describir métodos para analizar la dinámica de un sistema, veamos el caso estático, es decir, un sistema de partículas en equilibrio, donde se cumple $\bm{F}_i = 0\;\, \forall i\,$. Evidentemente, ante desplazamientos virtuales $\{\delta\bm{r}_i\}$, los trabajos $\bm{F}_i\cdot\delta\bm{r}_i\,$ realizados sobre cada partícula se anulan, con lo cual es obvio que también

$$\sum_{i=1}^N \bm{F}_i\cdot\delta\bm{r}_i = \sum_{i=1}^N \bm{F}_i^{(a)}\!\cdot\delta\bm{r}_i + \sum_{i=1}^N \bm{f}_i\cdot\delta\bm{r}_i = 0 \;.$$

Como solo consideramos el caso de vínculos ideales, sabemos que la suma de los trabajos virtuales de las fuerzas de vínculo se anula. Arribamos así al principio de los trabajos virtuales, que establece que para sistemas en equilibrio, ante desplazamientos virtuales $\{\delta\bm{r}_i\}$ se cumple

$$\sum_{i=1}^N \bm{F}_i^{(a)}\!\cdot\delta\bm{r}_i = 0 \;.$$

Vemos que logramos prescindir de las fuerzas de vínculo para encontrar la condición de equilibrio de un sistema; por supuesto que a cambio exigimos que se satisfagan las restricciones impuestas por las fuerzas de vínculo, pero la ventaja de esta formulación es que no necesitamos agregar esas incógnitas para establecer los $\{\bm{r}_i\}$ para el equilibrio.

Analicemos la posición de equilibrio para el caso del péndulo doble descripto anteriormente. Las respectivas fuerzas $\bm{F}_1^{(\rm a)}$ y $\bm{F}_2^{(\rm a)}$ que actúan sobre $m_1$ y $m_2$ son $\,m_1g\,\bm{\hat{\jmath}}\,$ y $\,m_2g\,\bm{\hat{\jmath}}$, de manera que escribiendo $\,\delta\bm{r}_1=\delta x_1\,\bm{\hat{\imath}}+\delta y_1\,\bm{\hat{\jmath}}\,$ y $\,\delta\bm{r}_2=\delta x_2\,\bm{\hat{\imath}}+\delta y_2\,\bm{\hat{\jmath}}\,$ resulta (ejercicio)

$$\bm{F}_1^{(a)}\!\cdot\delta\bm{r}_1+\bm{F}_2^{(a)}\!\cdot\delta\bm{r}_2 = m_1g\,\delta y_1 + m_2g\,\delta y_2 = 0 \;.$$

Esta identidad debe anularse en torno de las posiciones de equilibrio, para cualquier elección de desplazamientos virtuales $(\delta y_1,\delta y_2)$, y como $m_1$, $m_2$ y $g$ son distintos de cero, debe cumplirse (ejercicio)

$$\delta y_1 = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \ell_1\operatorname{sen}\theta_1\,\delta\theta_1 = 0$$   y$$\quad\qquad \delta y_2 = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \textcolor{... ..._1\,\delta\theta_1+\,}\ell_2\operatorname{sen}\theta_2\,\delta\theta_2 = 0 \;.$$

para cualquier elección de apartamientos $\delta\theta_1$ y $\delta\theta_2\,$: la única alternativa posible es que el equilibrio se dé para $\,y_1\!=\!\ell_1\,$ junto con $\,y_2\!=\ell_1\!+\!\ell_2\,$ ( $\theta_1\!=\!\theta_2\!=\!0$).