Vínculos

Llamamos así a las restricciones para las posibles posiciones o velocidades de las partículas que componen un sistema mecánico. Es importante resaltar que estos son condicionamientos que se imponen a priori, es decir, se trata de limitaciones establecidas antes de resolver la evolución del sistema. Por ejemplo, una partícula que se desplaza en una determinada superficie se describe mediante el vector $\bm{r}\!=\!(x,y,z)$; sin embargo, la ecuación que define esa superficie tiene la forma $f(\bm{r})\!=\!f(x,y,z)\!=\!0$, y por lo tanto las coordenadas $x,y,z$ dejan de ser independientes. Claramente, cada condición como esta reduce el número de grados de libertad del sistema considerado. A menudo encontraremos ejemplos concretos de estas situaciones al describir el movimiento de una partícula en un plano horizontal, para el cual $f(x,y,z)\!=\!z-a\!=\!0$; una superficie esférica, donde $f(x,y,z)\!=\!x^2+y^2+z^2-R^2\!=\!0$, etc.; y también para casos en que esas superficies cambian con el tiempo, donde puede escogerse una relación $f(x,y,z,t)\!=\!0$, como en el caso sencillo en que el plano horizontal donde la partícula desarrolla su movimiento va ocupando una altura $z\!=\!a(t)$, de manera que $f(x,y,z,t)\!=\!z-a(t)\!=\!0$.

 

El mismo planteo puede hacerse para un sistema de partículas, como es el caso de 2 masas puntuales conectadas por una varilla de largo $\ell$ constante, de modo que debe respetarse la condición $(\bm{r}_1-\bm{r}_2)^2=\ell^2$, que escribimos como $(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2-\ell^2=0$. Otro ejemplo habitual que plantearemos es el del péndulo doble, que consta de dos masas $m_1$ y $m_2$ conectadas a un punto de suspensión como se muestra en la figura, por un hilo inextensible de largo $\ell_1$, y conectadas entre sí mediante otro hilo inextensible de largo $\ell_2$; en este caso las ecuaciones de vínculo se escriben como

 

$$x_1^2 + y_1^2 - \ell_1^2 = 0 \;, \quad\qquad (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2 - \ell_2^2 = 0 \;. \rule{4em}{0em}$$

Todos estos ejemplos conforman vínculos holónomos: cada uno de ellos se expresa mediante una relación

$$f(\xi_1,\xi_2,...\,,\xi_M,t)=0$$

entre algunas coordenadas $\xi_1,\xi_2,...\,,\xi_M$ arbitrarias (no necesariamente cartesianas), y eventualmente el tiempo. Los vínculos que no pueden expresarse de esta manera han sido ingeniosamente bautizados como no holónomos; un ejemplo de estos es el de las $N$ moléculas de un gas contenidas en un recipiente de aristas $a$, $b$ y $c$, en el que debe cumplirse

$$0<x_i<a \;, \qquad 0<y_i<b \;, \qquad 0<z_i<c \qquad\quad (i=1,...\,,N) \;.$$

En muchos casos, los vínculos no holónomos suelen representarse mediante relaciones no integrables que involucran también a las velocidades $\dot{\xi}$

$$g(\xi_1,...\,,\xi_M,\dot{\xi}_1,...\,,\dot{\xi}_M,t)=0 \;.$$

 

Por ejemplo, si denotamos con $x$ la coordenada del centro de un cilindro de radio $R$ que rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal, y con $\varphi$ el correspondiente ángulo de giro, está claro que se cumple la relación $\dot{x}=R\,\dot{\varphi}$; sin embargo esta relación es integrable, ya que se trata de la derivada de $x=R\,\varphi$, y por lo tanto representa un vínculo holónomo.

 

Consideremos ahora un monociclo que representamos mediante un disco que gira sin deslizar sobre otra superficie horizontal, manteniéndose siempre vertical y cambiando su dirección de viaje según el ángulo $\theta$ de la figura. Podemos descomponer la velocidad $\bm{v}$ del centro del disco como $$\dot{x} = v_x = v \cos\theta \;,\qquad \dot{y} = v_y = v \operatorname{sen}\theta \;,$$ y como aquí también se cumple $v=R\,\dot{\theta}$, las ecuaciones de vínculo resultantes son $$\dot{x} - R\,\dot{\phi}\cos\theta = 0$$   y$$\qquad \dot{y}-R\,\dot{\phi}\operatorname{sen}\theta = 0 \;.$$

 

Como $\theta(t)$ es una función desconocida, está claro que estas ecuaciones no son integrables, por lo que este caso ilustra un vínculo no holónomo.