Coordenadas generalizadas - Ecuaciones de Lagrange

Surge naturalmente la idea de representar nuestro sistema solamente con las coordenadas necesarias para su descripción, sin que se susciten redundancias: este conjunto de variables independientes son las llamadas coordenadas generalizadas, que denotaremos de manera genérica como $(q_1, q_2,...\,,q_n)$. Las mismas cumplen dos requisitos importantes: por un lado, el vector posición de cada partícula queda siempre determinado por las $q$ s; a su vez, las relaciones de vínculo (holonómicos) $\,f(\xi_1,\xi_2,...\,,\xi_M,t)\!=\!0\,$ se satisfacen automáticamente la utilizar las $q$ s.

Ilustremos este concepto volviendo al péndulo doble descripto en $\S$2.1, donde notamos que el sistema tiene 2 grados de libertad, por lo cual elegimos las coordenadas generalizadas $\,q_1\!=\!\theta_1\,$ y $\,q_2\!=\!\theta_2\,$. Notamos que todas las posiciones pueden escribirse en términos de $q_1\,$ y $\,q_2\,$ (ejercicio), y también que las ecuaciones de vínculo

$$x_1^2+y_1^2-\ell_1^2 = \ell_1^2\operatorname{sen}^2\theta_1+\ell_1^2\cos^2\theta_1-\ell_1^2 = 0 \;,$$

$$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2-\ell_2^2 = \ell_2^2\operatorname{sen}^2\theta_2+\ell_2^2\cos^2\theta_2-\ell_2^2 = 0 \rule{0em}{1.3em}$$

se cumplen automáticamente, es decir, la correcta elección de las coordenadas generalizadas nos permite prescindir de las ecuaciones de vínculo.

Si tenemos $p$ vínculos holónomos en un sistema (3D) de $N$ partículas

$$f_1(\bm{r}_1,\bm{r}_2,...\,,\bm{r}_N,t)=0 \;,\quad f_2(\bm{r}_1,\... ... \;, \quad ... \quad\;, \quad f_p(\bm{r}_1,\bm{r}_2,...\,,\bm{r}_N,t)=0 \;,$$

de las $3N$ coordenadas $\{x_i,y_i,z_i\}$, solo $3N-p=n$ son independientes, por lo que el sistema descripto cuenta con $n$ grados de libertad, de modo que es posible describirlo mediante $n$ coordenadas generalizadas.

Entonces en el caso general podemos expresar $\bm{r}_i=\bm{r}_i(q_1,q_2,...\,,q_n,t)\quad(i\!=\!1,...\,,N)\,$ y sabemos que los vínculos $f_j(\bm{r}_1,\bm{r}_2,...\,,\bm{r}_N,t)=0\;,$ se satisfacen automáticamente. El conjunto $q\equiv\{q_k\}$ determina un “espacio de configuraciones” donde podemos representar todos los estados posibles para el sistema descripto. Ahora intentaremos expresar el principio de d'Alembert en términos de $q$; para ello primero escribimos los desplazamientos virtuales

$$\delta\bm{r}_i = \sum_{k=1}^n \frac{\partial\bm{r}_i}{\partial q_k}\,\delta q_k \;,$$

(recordemos que están definidos para $t$ fijo). Escribimos ahora los trabajos virtuales de las fuerzas aplicadas $\bm{F}_i^{\textcolor{gray}{(a)}}\!$ como

$$\sum_{i=1}^N \bm{F}_i^{\textcolor{lightgray}{(a)}}\!\!\!\cdot\del... ...ac{\partial\bm{r}_i}{\partial q_k}\delta q_k = \sum_{k=1}^n Q_k\,\delta q_k \;,$$ (1)

donde introducimos la fuerza generalizada $Q$, cuya componente $k$-ésima está definida como

$$Q_k \equiv \sum_{i=1}^N \bm{F}_i^{\scriptscriptstyle\textcolor[rgb]{.9,.9,.7}{(a)}}\!\!\!\cdot \frac{\partial\bm{r}_i}{\partial q_k} \;.$$

Vale la pena notar que como las $q_k$ no necesariamente miden longitudes, las componentes $Q_k$ pueden no tener unidades de fuerza, aunque los productos $Q_k\,\textcolor{gray}{\delta} q_k$ siempre deben tener unidades de trabajo (energía).

Finalmente, completamos el desarrollo en términos de las coordenadas generalizadas con la suma

$$\sum_{i=1}^N \dot{\bm{p}}_i\cdot\delta\bm{r}_i = \sum_{i=1}^N \su... ...}t}\!\left(\frac{\partial\bm{r}_i}{\partial q_k}\right) \right]\,\delta q_k \;.$$ (2)

Analizamos la derivada del último sumando, teniendo presente que como $\bm{r}_i=\bm{r}_i(q_1,q_2,...\,,q_n,t)$, entonces $\partial\bm{r}_i/\partial q_k$ depende también de $q$ y $t$

$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial\bm{r}_i}{\partial ... ...\bm{r}_i}{{\rm d}t}$}}} = \frac{\partial\color{cyan}\bm{v}_i}{\partial q_k} \;,$$ (3)

donde, como es usual, denotamos $\dot{q}_k\equiv\!{\rm d}q_k/\!{\rm d}t\,$. Aquí es importante destacar que, aunque las $\bm{r}_i$ son solo funciones de las $q\,$ y de $t$, el proceso de derivación respecto de $t$ hace que en $\bm{v}_i$ intervengan además las $\dot{q}$, es decir $\bm{v}_i\!=\!\bm{v}_i(q,\dot{q},t)$

$$\bm{v}_i = \frac{{\rm d}\bm{r}_i}{{\rm d}t} = \sum_{k=1}^n \frac... ...ial\bm{r}_i}{\partial q_k} \dot{q}_k + \frac{\partial\bm{r}_i}{\partial t} \;.$$

En particular, $\bm{v}_i$ depende linealmente de las $\dot{q}$, de modo que la identidad anterior pone en evidencia que

$$\frac{\partial\bm{v}_i}{\partial \dot{q}_k} = \frac{\partial\bm{r}_i}{\partial q_k} \;,$$

que interviene en la primera suma de (2). Sustituyendo estos resultados para los coeficientes de los desplazamientos virtuales $\delta q_k$ en (2)

$$\sum_{i=1}^N m_i\dot{\bm{v}}_i\cdot\frac{\partial\bm{r}_i}{\parti... ...ac{\partial}{\partial q_k}\!\left(\frac{1}{2}m_i\bm{v}_i^2\right)} \right] \;.$$

Recordando nuestra definición para la energía cinética

$$T = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N m_i\bm{v}_i^2 \;,$$

vemos que

$$\sum_{i=1}^N m_i\dot{\bm{v}}_i\cdot\frac{\partial\bm{r}_i}{\parti... ...ac{\partial T}{\partial\dot{q}_k}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} \;.$$

Estamos en condiciones entonces de expresar el principio de d'Alembert en términos de las coordenadas generalizadas, reuniendo (1) y (2)

$$\sum_{i=1}^N \dot{\bm{p}}_i\cdot\delta\bm{r}_i - \sum_{i=1}^N \bm... ..._k}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} - Q_k \right] \delta q_k = 0 \;.$$

Como esta identidad debe valer para un conjunto arbitrario de desplazamientos virtuales $\{\delta q_k\}$, los que además son independientes, entonces debe anularse cada término, con lo cual arribamos a las ecuaciones de Lagrange

$$\fbox{\ \ \ $\displaystyle \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left(\frac{\p... ...) - \frac{\partial T}{\partial q_k} = Q_k \;. \rule[-1.75em]{0em}{4em} $\ \ \ }$$ (4)

Contamos entonces con un método para resolver la dinámica de un sistema de partículas que prescinde de las fuerzas de vínculo, al tiempo que emplea tantas variables independientes como grados de libertad tiene el sistema (las $n$ coordenadas generalizadas). Cuando no hay vínculos y elegimos coordenadas cartesianas para desarrollar nuestra descripción de la dinámica de una partícula, $q_1\!=\!x$, $q_2\!=\!y\,$ y $q_3\!=\!z$, y las componentes de las fuerzas generalizadas resultan (ejercicio) $\,Q_1\!=\!F_x$, $Q_2\!=\!F_y\,$ y $\,Q_3\!=\!F_z$, de manera que recuperamos las ecuaciones de movimiento newtonianas (ejercicio).

Presentemos también el ejemplo del movimiento de una partícula de masa $m$ en un plano, bajo la acción de una fuerza $\bm{F}$ (también contenida en el plano), descripto mediante las coordenadas polares $q_1=r\,$ y $\,q_2=\theta\,$. En este caso las componentes de la fuerza generalizada resultan (ejercicio)

$$Q_1 = F_r \left( = \bm{F}\cdot\bm{\hat{e}}_r\right)$$   y$$\qquad Q_2 = r\,F_\theta \left( = r\,\bm{F}\cdot\bm{\hat{e}}_\theta\right) \;.$$

Aquí se evidencia que la componente $Q_2$ se corresponde con el torque asociado a $\bm{F}$ desde el origen de coordenadas. Escribiendo la energía cinética en términos de las coordenadas y velocidades generalizadas

$$T = \frac{m}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right) = \frac{m}{2}\big(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\big)\;,$$

las ecuaciones de Lagrange resultan (ejercicio)

$$m\,\ddot{r} - m\,r\,\dot{\theta}^2 = F_r \quad,\qquad m\,r\,\ddot{\theta} + 2 m\,\dot{r}\,\dot{\theta} = F_\theta \;,$$

que afortunadamente coinciden con las ecuaciones de movimiento que obtenemos mediante las formulación newtoniana (ejercicio).