Teorema de Poisson

Si $f$ y $g\,$ son integrales de movimiento, entonces $[f,g]$ también lo es.

Este teorema se prueba fácilmente recurriendo a la identidad de Jacobi. Consideremos primero el caso en que $f$ y $g\,$ no dependen explícitamente de $t\,$: tomando $h=H\,$ en (37) tenemos

$$[f,[g,H]] + [g,[H,f]] + [H,[f,g]] = 0 \;,$$

donde los dos primeros términos se anulan, ya que al conservarse $f$ y $g\,$ se cumple $[g,H]=0=[H,f]$; la identidad anterior implica entonces que

$$[H,[f,g]] = 0 \;,$$

de manera que $[f,g]$ se mantiene constante.

Veamos ahora qué ocurre cuando $f$ y $g\,$ son integrales de movimiento, pero dependen explícitamente de $t$. En este caso podemos escribir (ejercicio)

$$\frac{{\rm d}\,[f,g]\rule{-1.5em}{0em}}{{\rm d}t}\rule{1.5em}{0em... ...partial g}{\partial t}\right]} \,{\color{Green}+\, [f,[g,H]] + [g,[H,f]]} \;,$$

donde utilizamos la antisimetría de los corchetes de Poisson y luego la identidad de Jacobi para reemplazar los dos últimos términos. Si ahora volvemos a utilizar la antisimetría, y a continuación la bilinealidad, resulta (ejercicio)

$$\frac{{\rm d}\,[f,g]\rule{-1.5em}{0em}}{{\rm d}t}\rule{1.3em}{0em... ...m d}f}{{\rm d}t} , g \right] + \left[ f ,\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t} \right] \;.$$

Como por hipótesis ${\rm d}f/{\rm d}t=0\,$ y ${\rm d}g/{\rm d}t=0\,$, vemos que $[f,g]$ es una integral de movimiento, incluso cuando $f\,$ y $g\,$ dependan explícitamente de $t\,$.

Vale la pena notar que en un sistema dado el número de constantes de movimiento es limitado, por lo que la aplicación excesiva del teorema de Poisson no siempre proporcionará información novedosa.