Corchetes de Poisson

Para cualquier función $f(p,q,t)$ de los impulsos, coordenadas y el tiempo vale la relación

$\displaystyle \frac{{\rm d}f}{{\rm d}t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \sum_... ... - \frac{\partial f}{\partial p_k}\,\frac{\partial H}{\partial q_k}\right) \;,$

donde tuvimos presentes las ecuaciones de Hamilton (33). Definiendo el corchete de Poisson para dos funciones cualesquiera $f\,$ y $g\,$ como

$\displaystyle [f,g] = \sum_k \left(\frac{\partial f}{\partial q_k}\,\frac{\part... ... - \frac{\partial f}{\partial p_k}\,\frac{\partial g}{\partial q_k}\right) \;,$

la expresión anterior se puede reescribir de manera compacta como

$\displaystyle \frac{{\rm d}f}{{\rm d}t} = \frac{\partial f}{\partial t} + [f,H] \;.$

Aquí se pone en evidencia que si $f$

no depende explícitamente de $t$

, esta es una integral de movimiento si se cumple $[f,H]=0$

Notemos que a partir de la definición de los corchetes de Poisson, se cumplen las siguientes propiedades (¡anímate y demuéstralas!)

(antisimetría) ;
$[af+bg,h] = a[f,h] + b[g,h], \quad [h,af+bg] = a[h,f]+b[h,g], \quad a, b \in \mathbb{R}$ (bilinealidad)
( $\hookrightarrow\;$ si constante, );
(Leibniz) ;
$\displaystyle \frac{\partial\,[f,g]\rule{-1.5em}{0em}}{\partial t}\rule{1.5em}{... ...\partial f}{\partial t},g\right] + \left[f,\frac{\partial g}{\partial t}\right]$ ;
$[f,p_k]=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial q_k} \;,\qquad [f,q_k]=-\displaystyle\frac{\partial f}{\partial p_k}\,$ ;
$[q_j,q_k]=0 \;,\qquad [p_j,p_k]=0 \;,\qquad [q_j,p_k]=\delta_{j,k}\,$ .