El hamiltoniano y el principio de Hamilton

En §3.2 habíamos definido la acción como

$$S = \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t\; L(q,\dot{q},t) \;.$$

Como ahora introdujimos el hamiltoniano

$$H(p,q,t) = \sum_j p_j\,\dot{q}_j - L \;,$$

podemos enunciar el principio de Hamilton en términos de las variables independientes consideradas $(p,q)$, exigiendo que en torno del extremo de $\S$ (la solución para las funciones de movimiento) se cumpla

$$\hspace{6em} \delta S = \delta\int_{t_1}^{t_2} \!{\rm d}t\; \bigg... ...,q,t) \bigg] = 0 \hspace{5em} \big( \delta q_j(t_1)=0=\delta q_j(t_2) \big) \;.$$ (35)

Es decir,

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \!{\rm d}t\; \sum_j \left( p_j\,\delt... ...q_j}\,\delta q_j - \frac{\partial H}{\partial p_j}\,\delta p_j \right) = 0 \;.$$

Integrando por partes el primer término e imponiendo la condición sobre los extremos de las trayectorias, puede mostrarse que (ejercicio)

$$\int_{t_1}^{t_2} \!{\rm d}t\;\; p_j\,\delta\dot{q}_j = - \int_{t_1}^{t_2} \!{\rm d}t\;\; \dot{p}_j\,\delta q_j \;,$$

de manera que reemplazando en la expresión anterior y agrupando convenientemente la condición de extremo implica

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \!{\rm d}t\; \sum_j \left[ \left( \do... ...dot{p}_j + \frac{\partial H}{\partial q_j} \right) \delta q_j \right] = 0 \;.$$

Como esta igualdad debe valer para $\{\delta p_j\}$ y $\{\delta p_j\}$ arbitrarias, y todas ellas son independientes, debe cumplirse

$$\dot{q}_j - \frac{\partial H}{\partial p_j} = 0$$   y$$\hspace{5em} \dot{p}_j + \frac{\partial H}{\partial q_j} = 0 \hspace{5em} j=1,,,\,,n \;,$$

que son justamente las ecuaciones canónicas. Vemos entonces que el principio de Hamilton impone las ecuaciones de movimiento dentro de este contexto, tal como lo hacía en la formulación lagrangiana.

Notemos que, teniendo en cuenta que $\dot{q}_j\,{\rm d}t={\rm d}q_j\,$, la condición de extremo (35) puede expresarse como

$$\delta S = \delta \left[ \sum_j \int_{q_j(t_1)}^{q_j(t_2)} {\rm d}q_j\; p_j - \int_{t_1}^{t_2} \!{\rm d}t\; H \right] = 0 \;.$$ (36)

En algunas situaciones, esta expresión puede resultar muy conveniente.