Principio de Hamilton

Como dijimos al comienzo de este capítulo, este principio, también llamado principio de mínima acción, establece que para llevar un sistema desde el estado $\{q_j(t_1)\}$ al $\{q_j(t_2)\}$ prefijados para los instantes $t_1$ y $t_2$, la integral de acción

$$S[q] = \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t\; L(q_1,...\,,q_n,\dot{q}_1,...\,,\dot{q}_n,t)$$ (8)

alcanza un valor extremo. Los cuidados para imponer la condición de extremo se detallaron en la sección anterior; en el planteo para sistemas mecánicos debemos tener en cuenta que las variaciones de todas las coordenadas y velocidades generalizadas —en lugar de tener una sola dimensión, como en los ejemplos anteriores. Dejando los detalles como ejercicio, la condición de extremo en este caso se transcribe como

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t\; \sum_{j=1}^n \left( \frac{... ...rtial L}{\partial\dot{q}_j} \delta\dot{q}_j \right) = \stackrel[\color{Thistle} ]{}{\dots} = \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t\; \sum_{j=1}^n \left[ \fra... ...}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_j}\right) \right] \delta q_j = 0 \;.$$ (9)

Nuevamente, como esta condición debe cumplirse para un conjunto arbitrario de variaciones $\{\delta q_j\}$, entonces debe anularse el corchete del penúltimo miembro, que casualmente coincide con las ecuaciones de Lagrange. Teniendo presente que estas ecuaciones proceden de postulados diferentes, se las suele invocar ingeniosamente como ecuaciones de Euler-Lagrange.

Podemos retomar ahora la idea (6) de que cuando a una lagrangiana $L(q,\dot{q},t)$ le añadimos la derivada total de una función $G(q,t)$ con respecto a $t$ se obtienen las mismas ecuaciones de movimiento. La demostración se dejó entonces como ejercicio, y puede realizarse derivando cuidadosamente ambos miembros de (6); ahora, conociendo el principio de Hamilton, esa demostración resulta directa, ya que la acción en términos de la lagrangiana $L_2$ es

$$S_2 = \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t\; L_2(q,\dot{q},t) = \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t\; L(q,\dot{q},t) + G(q(t_2),t_2) - G(q(t_1),t_1) \;,$$

de donde la condición de extremo de $\S$ se traslada directamente a $S_2$, arribando al resultado deseado (ejercicio).