Cálculo de variaciones

Hasta aquí vimos cómo deducir las ecuaciones de Lagrange a partir de las leyes de Newton, haciendo intervenir ecuaciones de vínculos que permitan reducir la dimensionalidad de un problema, mediante la hipótesis de que las fuerzas de vínculo son ideales, y por lo tanto se anulan los trabajos virtuales que realizan. Sin embargo, hay otra teoría que desemboca en las ecuaciones de Lagrange, y que nace del principio de Hamilton, que sostiene que para llevar un sistema desde el estado $\{q_j(t_1)\}$ al $\{q_j(t_2)\}$ prefijados para los instantes $t_1$ y $t_2$, la integral de acción

$$S[q] = \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t\; L(q,\dot{q},t) \;,$$

donde $L=T-V$ es la lagrangiana del sistema, alcanza un valor extremo (mínimo). La condición de extremo implica que al realizar variaciones $\delta q(t)$ alrededor de las soluciones $q(t)$ que minimizan la expresión anterior debemos imponer la correspondiente condición de extremo

$$\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t\; L(q,\dot{q},t) = 0 \;.$$

Antes de discutir en detalle este principio, notemos que la condición de extremo nos conduce al análisis de funcionales $J$ que dependen de integrales de alguna función $f\big(y(x),\dot{y}(x),x\big)$

$$J = \int_{x_1}^{x_2} {\rm d}x\; f(y,\dot{y},x) \;,$$ (7)

con $x_1$ y $x_2$ fijos, y lo mismo para los valores de $y(x_1)$ y $y(x_2)$. El objetivo de este análisis es encontrar un extremo para la integral $J$, de manera que alrededor de la solución $y(x)$ que extremiza esta integral se cumple

$$\delta J = \delta \int_{x_1}^{x_2} {\rm d}x\; f(y,\dot{y},x) \;.$$

Para imponer esta condición imaginamos variaciones $\delta y(x)$ continuas y derivables en torno de la solución (desconocida). A menudo suelen pensarse estas variaciones como todas las alternativas de sumar a la solución $y(x,0)$ cualquier curva $\eta(x)$ (continua y derivable) multiplicada por un escalar $\alpha$, que es el que hacemos pequeño

$$y(x,\alpha) = y(x,0) + \alpha\,\eta(x) \;.$$

De este modo, las variaciones que queremos evaluar dependen del parámetro $\alpha$, mediante el cual abarcamos todas las posibles curvas $y$ conectándolos con cualquier $\eta(x)$. Las posibles variaciones que contemplamos pueden escribirse como

$$\delta y = \left(\frac{\partial y}{\partial\alpha}\right)_{\!\!\alpha=0} \delta\alpha \;.$$

Realizamos entonces las posibles variaciones $\delta y$, teniendo presente que cada una de ellas tiene asociada una variación para la derivada $\delta\dot{y}\,$; para ello, intercambiando el proceso de derivación con el de integración, en base a las hipótesis planteadas

$$\delta J = \int_{x_1}^{x_2} {\rm d}x\; \left[ \frac{\partial f}{\... ...,\delta y + \frac{\partial f}{\partial\dot{y}}\,\delta\dot{y} \right] = 0 \;.$$

Notando que en el segundo sumando interviene $\delta\dot{y}={\rm d}(\delta y)/{\rm d}x$ integramos por partes

$$\int_{x_1}^{x_2} {\rm d}x\; \frac{\partial f}{\partial y}\,\delta... ...}{{\rm d}x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}\right) \delta y = 0 \;.$$

El segundo término de la derecha se anula puesto que prefijamos tanto $y(x_1)$ como $y(x_2)$, lo que implica que $\delta y(x_1)\!=\!\delta y(x_2)\!=\!0\,$. Entonces la condición de extremo equivale a exigir

$$\int_{x_1}^{x_2} {\rm d}x\; \left[\frac{\partial f}{\partial y} +... ...{\rm d}x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}\right)\right] \delta y = 0$$

para una variación $\delta y$ arbitraria: la única posibilidad para que esto ocurra es que se anule el corchete, de manera que concluimos que la integral $J$ (7) tiene un extremo si se cumple la ecuación de Euler

$$\fbox{\ \ \ $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} + \frac... ...\partial f}{\partial\dot{y}}\right) = 0 \;. \rule[-1.75em]{0em}{4em} $\ \ \ }$$

Ilustremos esta idea con el cálculo de la mínima distancia entre dos puntos de un plano recorrida por una curva $y(x)$. En este caso podemos escribir

$$J = \int_{x_1}^{x_2} {\rm d}s = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{({\rm d}x)... ...x_1}^{x_2}{\rm d}x\; \sqrt{{1+\left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\right)\!}^2} \;,$$

donde identificamos $f(y,\dot{y},x)=\sqrt{1+\dot{y}^2}$. Procediendo con la ecuación de Euler arribamos al resultado esperado (ejercicio).

 

Un ejemplo menos sencillo es el de encontrar la superficie de revolución mínima (alrededor del eje $y$) entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ de un plano. Cada diferencial de curva ${\rm d}s$ genera un diferencial de área $$2\pi x\,{\rm d}s = 2\pi x \sqrt{1+\dot{y}^2} {\rm d}x \;,$$ de manera que podemos expresar el área como una integral $$A = 2\pi \int_{x_1}^{x_2}{\rm d}x\; x\,\sqrt{1+\dot{y}^2} \;.$$

Identificando el integrando como la $f(y,\dot{y},x)$ que involucra la ecuación de Euler, y teniendo los cuidados necesarios podemos resolver el problema, integrando para encontrar una curva catenaria

$$x = a \cosh\frac{y-b}{a} \;,$$

donde las constantes $a$ y $b$ están relacionadas con las condiciones impuestas a los extremos de la curva.