Potenciales generalizados - Función de disipación

Hasta aquí hemos desarrollado nuestra presentación pensando siempre en sistemas conservativos, en los cuales las fuerzas son derivadas de un potencial $V(\bm{r}_1,...\,,\bm{r}_N)$ que solo depende de las coordenadas. La elección de coordenadas generalizadas nos permitió extender nuestra descripción introduciendo las fuerzas generalizadas $Q$, que matemáticamente representan magnitudes análogas

$$\bm{F}_i = -\nabla_i V = -\frac{\partial V}{\partial\bm{r}_i} \qquad\leftrightarrow\qquad Q_k = -\frac{\partial V}{\partial q_k} \;.$$

A continuación veremos que es posible extender las ecuaciones de Lagrange (5) a diferentes situaciones, como aquellas en que las fuerzas se derivan (de una manera particular) de un potencial que también depende de las velocidades y del tiempo, además de las posiciones; e incluso extenderemos la aplicación del método desarrollado a algunos casos en que los sistemas están gobernados por fuerzas disipativas, que no pueden derivarse de un potencial pero satisfacen algunas condiciones específicas.

El caso particular en que las fuerzas generalizadas pueden derivarse de una función $U(q_1,...\,,q_n,\dot{q}_1,...\,,\dot{q}_n,t)$ mediante el procedimiento

$$Q_k = - \frac{\partial U}{\partial q_k} + \frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial U}{\partial\dot{q}_k}\right) \;,$$ (10)

las ecuaciones de Lagrange siguen siendo aplicables si tomamos $L=T-U$ —razón por la cual llamamos potencial generalizado a la función $U$. De este modo, podemos incluir en nuestra descripción sistemas donde se cumplen las condiciones mencionadas.