Partícula en un campo electromagnético

Veamos una partícula de masa $m$ y carga $e$ sometida a un campo electromagnético. En el caso general debemos incluir la fuerza de Lorentz, que depende de la velocidad de la partícula

$$\bm{F} = q \left( \bm{E} + \frac{1}{c}\bm{v}\times\bm{B} \right) \;,$$

donde los campos $\bm{E}$ y $\bm{B}$ se derivan de potenciales escalar $\phi(\bm{r},t)$ y vectorial $\bm{A}(\bm{r},t)$

$$\bm{E} = -\nabla\phi-\frac{1}{c}\frac{\partial\bm{A}}{\partial t} \;, \qquad \bm{B} = \nabla\times\bm{A} \;.$$

Elegimos las coordenadas cartesianas como coordenadas generalizadas, de manera que las componentes de las fuerzas generalizadas son las componentes cartesianas de $\bm{F}$, como vimos en $\S$2.4. Reescribiendo

$$\bm{F} = q \left[ -\nabla\phi-\frac{1}{c}\frac{\partial\bm{A}}{\partial t} + \frac{1}{c}\bm{v}\times(\nabla\times\bm{A}) \right] \;,$$

podemos ayudarnos con las identidades (ejercicio s)

$$\frac{{\rm d}\bm{A}}{{\rm d}t}=(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{A}+\frac{\partial\bm{A}}{\partial t}$$   y$$\qquad \bm{v}\times(\nabla\times\bm{A})=\nabla(\bm{v}\cdot\bm{A})-(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{A} \;,$$

teniendo presente que el operador $\nabla$ solamente afecta a $\bm{r}$, de manera que resulta (ejercicio)

$$\bm{F} = q \left[ -\nabla\phi-\frac{1}{c}\frac{{\rm d}\bm{A}}{{\r... ...[ \nabla_{\bm{v}}\left(q\phi-\frac{q}{c}\,\bm{v}\cdot\bm{A}\right) \right] \;,$$

donde denotamos

$$\nabla_{\bm{v}} \equiv \frac{\partial\,}{~\partial\bm{v}} = \left... ... \frac{\partial~}{~\partial v_y} + \frac{\partial~}{~\partial v_z} \right) \;,$$

y hemos tenido en cuenta que $\bm{A}$ solo depende de $\bm{r}$, y no de $\bm{v}$. La expresión anterior deja en claro que si elegimos

$$U = q\,\phi - \frac{q}{c}\,\bm{v}\cdot\bm{A}$$

es posible derivar la fuerza mediante el procedimiento dado por (10), de manera que la lagrangiana para una partícula bajo la acción de un campo electromagnético se escribe como

$$L = T-U = \frac{m\bm{v}^2}{2} - q\,\phi + \frac{q}{c}\,\bm{v}\cdot\bm{A} \;.$$