Fuerzas disipativas

Muchas veces no es posible obtener las fuerzas generalizadas como las derivadas de un potencial generalizado, en cuyo caso debemos completar la descripción agregando un sumando

$$Q_k = - \frac{\partial U}{\partial q_k} + \frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial U}{\partial\dot{q}_k}\right) + Q_k' \;.$$

Entonces conviene retomar las ecuaciones de movimiento (4) a partir de la lagrangiana $L=T-U$, de manera que

$$\hspace{4em} \frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial L}{\... ...}_k}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = Q_k' \qquad (k=1,...\,,n) \;.$$

Esto puede aplicarse a situaciones frecuentes donde las fuerzas representan fricción en un medio viscoso, de manera que su magnitud es proporcional a las velocidades de las partículas. Si representamos estas fuerzas disipativas $\bm{F}_i'$ en cartesianas

$$\hspace{6em} F_{ix}' = -k_x\,v_{ix} \;,\qquad F_{iy}' = -k_y\,v_{... ...d F_{iz}' = -k_z\,v_{iz} \;, \hspace{4em} k_\alpha>0 \quad (\alpha=x,y,z) \;,$$

podemos introducir la función de disipación de Rayleigh

$$\mathscr{D} = \frac{1}{2} \sum_{1=1}^N \left( k_x\,v_{ix}^2+k_y\,v_{iy}^2+k_z\,v_{iz}^2 \right) \;,$$

de donde derivamos

$$\bm{F}_i' = \left( -\frac{\partial\mathscr{D}}{\partial v_{ix}} ,... ...bla_{\bm{v}_i}\mathscr{D} = -\frac{\partial\mathscr{D}}{\partial \bm{v}_i} \;.$$

El trabajo por unidad de tiempo que realizan estas fuerzas es

$${\rm d}W' = \sum_{i=1}^N \bm{F}_i'\cdot{\rm d}\bm{r}_i = \sum_{i=1}^N \bm{F}_i'\cdot{\rm d}\bm{v}_i\,{\rm d}t \:.$$

de donde podemos computar la potencia disipada por las $\bm{F}_i'$ como

$$\frac{{\rm d}W'}{{\rm d}t} = -2\mathscr{D} \;.$$

En este caso, recordando que $\partial\bm{r}_i/\partial q_k=\partial\bm{v}_i\partial\dot{q}_k$,

$$Q_k' = \sum_{i=1}^N \bm{F}_i'\cdot\frac{\partial\bm{r}_i}{\partia... ...{v}_i}{\partial\dot{q}_k} = -\frac{\partial\mathscr{D}}{\partial\dot{q}_k} \;,$$

con lo cual podemos escribir las ecuaciones de movimiento en una forma similar a las anteriores como

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q... ...rtial L}{\partial q_k} + \frac{\partial\mathscr{D}}{\partial\dot{q}_k} = 0 \;.$$